¿Por qué es $-\ \frac{1}{2}\ln(\frac{1}{9})$ igual a $\frac{\ln(9)}{2}$?

Question

He resuelto este problema en mi libro de texto, pero se dieron cuenta de su solución era diferente al mío.

$1. \ 9e^{-2x}=1$

$2. \ e^{-2x}=\frac{1}{9}$

$3. -2x=\ln(\frac{1}{9})$

$4. \ x=-\ \frac{1}{2}\ln(\frac{1}{9})$

Sin embargo, la respuesta de que mi libro de texto da es $\frac{\ln(9)}{2}$

He conectado estas expresiones en mi calculadora y son de hecho equivalentes, sin embargo no veo qué propiedades que podría utilizar para llegar de mi desordenado respuesta a los libros de texto mucho más limpio. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\ln x +\ln y =\ln xy, \; \ln 1=\ln e^{0}=0$$ Si $x, y$ son positivas reales, como se ve aquí. A partir de esto, $$\ln x +\ln \frac{1}{x}=0 \iff \ln x =-\ln \frac{1}{x}$$ Por lo $$\ln \frac{1}{9}=-\ln 9$$ Por lo $-\frac{1}{2}\ln(\frac{1}{9})=\frac{\ln(9)}{2}$

Answer 2

$\ln (1/9) = \ln (9^{-1})=-1 \cdot \ln (9)$

Answer 3

Existe la siguiente propiedad de los logaritmos:

$$n \ln{x} = \ln{x^n}$$

Así que para tu problema que tienes:

$$ -\frac{1}{2} \ln{\left(\frac{1}{9}\right)}=\frac{1}{2}\ln{\left(\left(\frac{1}{9}\right)^{-1}\right)}=\frac{1}{2}\ln{9}= \frac{\ln9}{2}$$

Espero que esto sea suficiente como explicación.

Answer 4

$\ln(\frac{1}{9})=\ln(9^{-1})=(-1)\ln(9)$ ;)