Si $|H|=112$$A_7\cap H \lhd H$?

Question

He publicado esto porque Alex Clark pregunté en el chat y no estoy seguro de cómo proceder. Deje $G$ ser un grupo que tiene un fijo subgrupo isomorfo a $A_7$, que se denota simplemente por $A_7$. Deje $H$ ser un subgrupo de $G$ que tiene orden de $112$. Demostrar que $H\cap A_7 \lhd H$.

Desde $|H|=2^47$ $|A_7|=2^3\cdot 7 \cdot d$ $d$ un número impar, podemos ver el orden de $H\cap A_7$ es un divisior de $2^3\cdot 7$.

Algunos casos triviales son del orden de $H\cap A_7$ $1$ o $2^37$. Esa es la única materia que me puede ver.

Answer 1

Creo que el siguiente es un contraejemplo.

Deje $G=S_{10}$. Como era de esperar deje $A_7$ consta de permutaciones de $G$ que $8,9,10$ como puntos fijos.

Deje $\alpha=(1234567)$. La escuela primaria 2-grupo abelian $$ E=\langle(18)(24)(37)(56),(28)(14)(35)(67),(38)(46)(25)(17)\rangle $$ es estable bajo la conjugación por $\alpha$. A menos que busqué, esto es sólo otro ejemplo de que el grupo multiplicativo del campo $\Bbb{F}_8$ actúe en su aditivo grupo. Así que con $C=\langle \alpha\rangle$ el subgrupo $$ K=\langle E,\alpha\rangle=E\rtimes C $$ es un subgrupo de orden $56$ actúa transitivamente sobre $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$.

Deje $H=\langle K,(9;10)\rangle\le G$. A continuación,$H\cong K\times C_2$$|H|=112$. Vemos que $K$ tiene ocho Sylow $7$-subgrupos (punto de estabilizadores de uno de $1,2,\ldots,8$ dentro $K$), y estos en cuenta todos sus elementos fuera de $E$. Por lo tanto,$H\cap A_7=K\cap A_7=C$.

Pero $C$ no es un subgrupo normal de $H$ porque tiene esos ocho conjugados en $K$.