Una matriz real $A$ se denomina monótona si $Ax\geq 0$ implica $x \geq 0$ . Si la inversa de $A$ existe y es real, entonces demuestre que $A$ es monótona si y sólo si la inversa de $A \geq 0$ .
( $x\geq 0$ significa $x$ es un vector columna cuyas entradas son todas no negativas.
$A \geq 0$ significa $A$ es una matriz cuadrada cuyas entradas son todas no negativas).
Supongamos que $A^{-1}\ge 0$$Ax \ge 0$. Tenemos $0\le A^{-1}(Ax)=(A^{-1}A)x=x$.
Por otro lado, supongamos que el $i^\textrm{th}$ columna de $A^{-1}$ ( $x$ ) contiene una entrada negativa. Tenemos $Ax$ una columna de $I$, por lo tanto $Ax\ge 0$. Pero $x\not \ge 0$, lo que contradice $A$ monótono. Por lo tanto $A^{-1}\ge 0$.
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¿Podría especificar qué $Ax \geq 0$ , $x\geq 0$ y $A\geq 0$ ¿Qué quieres decir?