¿Puede haber una función que sea par e impar al mismo tiempo?

Question

Me he levantado esta mañana y tenía esta pregunta en mente. Sólo tengo curiosidad por saber si esa función puede existir.

Answer 1

Otros han mencionado que $f(x)=0$ es un ejemplo. De hecho, podemos demostrar que es el sólo ejemplo de una función de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (es decir, una función que toma valores reales y emite valores reales) que es a la vez impar y par. Supongamos que $f(x)$ es cualquier función que sea impar y par. Entonces $f(-x) = -f(x)$ de impar-ness, y $f(-x)=f(x)$ por la uniformidad. Así, $-f(x) = f(x)$ Así que $f(x)=0.$

Answer 2

Si $K$ es un campo de característica 2, cada función $K\to K$ es a la vez par e impar.

Answer 3

Sí. La función constante $f(x) = 0$ satisface ambas condiciones.

Incluso: $$ f(-x) = 0 = f(x) $$

impar: $$ f(-x) = 0 = -f(x) $$

Además, es la única función real que satisface ambas condiciones:

$$ f(-x) = f(x) = -f(x) \Rightarrow 2f(x) = 0 \Rightarrow f(x) = 0 $$

Answer 4

Sugerencia $\rm\ f\:$ es par y impar $\rm\iff f(x) = f(-x) = -f(x)\:\Rightarrow\: 2\,f(x) = 0.\:$ Esto es cierto si $\rm\:f = 0,\:$ pero también puede tener otras soluciones, por ejemplo $\rm\:f = n\:$ en $\rm\:\mathbb Z/2n =\:$ enteros mod $\rm 2n,$ donde $\rm\: -n \equiv n.$

Answer 5

Supongamos que $f$ impar un incluso. Dejemos que $x \in D$ ( D es la definición de conjunto de $f$ ) entonces usted tiene : $ f(x)=f(-x)=-f(x)$ . ¿Qué puede concluir sobre $f$ ?