Material de formación elaborado por los grupos de interés nacional (ejemplos)

Question

Hola, Estoy buscando ejemplos de grupos que son Hopfian y Co-Hopfian. Tengo un no trivial (y hermoso, al menos para mí) ejemplo: $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ ($n>2$).

¿Conoces otros (no trivial)?

Gracias.

Answer 1

La asignación de los grupos de la clase de cerrado superficies son Hopfian y co-Hopfian (el ex de la siguiente manera residual de la finitud, y el último es debido a Ivanov-McCarthy).

(F_n) también tiene ambas propiedades (residual finitud y un teorema de Farb-Handel).

Answer 2

$\mathbb{Q}$ es un ejemplo clásico.

Answer 3

Creo compacto $p$-ádico de la analítica de grupos que no tienen abelian normal subgrupos son Hopfian y co-Hopfian como grupos topológicos, pero yo no he visto esto explícitamente en cualquier lugar.

Answer 4

Torsiones $\delta$hiperbólico grupos hopfian, y es un teorema de Sela, que terminó de torsión libre hiperbólico grupos son co-hopfian (Z. Sela. Estructura y rigidez en (Gromov) hiperbólica grupos y grupos discretos en el rango 1 de la Mentira de los grupos. II. Geom. Func.. Anal., 7(3):561-593, 1997.).

Answer 5

Cada subgrupo abierto de la Nottingham grupo (p>3) es Hopfian y co-Hopfian. Por un lado, el Nottingham grupo es hereditariamente sólo infinita. Así que todo se abra subgrupo son sólo infinita, que es su propia cocientes son finitos. Por otro lado, Mikhail Ershova mostró que el commensurator de la Nottingham grupo (p>3) es su automorphism grupo. Así que si dos subgrupos son isomorfos el isomorfismo se extiende a un automorphism de la Nottingham grupo. En particular, los índices en el Nottingham grupo de subgrupos son los mismos. Por lo tanto, si uno es un subgrupo de la otra, son iguales.

EDIT: debo ser un poco más cuidadoso. El hecho de que el commensurator de la Nottingham grupo es su automorphism grupo, no dice que el isomorfismo se extiende a un automorphism, pero que el isomorfismo restringido a un subgrupo se extiende a un automorphism. Esto es suficiente para la afirmación anterior. También es posible que Mikhail realidad demostró ser el más fuerte reclamo que hice (no estoy 100% seguro).

EDIT2: me tienen confundido acerca de la definición de co-Hopfian. Este argumento muestra que el Nottingham grupo es finito co-Hopfian. No es cierto que es co-Hopfian a partir de los resultados de Rachel Camina (y también un papel de Fesenko).