Me gustaría saber si/dónde hay una referencia para la siguiente construcción.
Sea C_*(maps(M, T)) la cadena singular en el espacio de mapas continuos desde una variedad n-manifold M hasta algún espacio objetivo T. Nuestro objetivo es construir C_*(maps(M, T)) a partir de información local. Más específicamente, sea B cualquier n-variedad homeomórfica a la n-bola, y sea c: \boundary(B) -> T un mapa fijo. Definimos L_*(B, c) como la cadena singular en el espacio de todos los mapas de B -> T que se restringen a c en la frontera de B. Queremos construir C_*(maps(M, T)) (hasta homotopía) a partir de {L_*(B, c)}, donde B varía entre todas las n-bolas y c varía entre todas las condiciones de frontera.
Esto se puede hacer de la siguiente manera. Sea D la categoría de todas las descomposiciones de M. Un objeto x de D es una descomposición de M en n-bolas. Existe un (único) morfismo x -> y si y solo si x es una refinación de y (es decir, las bolas de x son subdivisiones de las bolas de y). Sea D_T una categoría similar, donde los objetos son descomposiciones de M en bolas con la estructura adicional de un mapa desde el (n-1)-esqueleto de la descomposición hasta T, y se requiere que los morfismos (anti-refinamientos de descomposiciones) respeten esta estructura adicional.
Podemos definir un funtor F desde D_T a la categoría de complejos de cadenas. Definimos F(x) como el producto tensorial de todos los L_*(B, c), donde B varía entre todas las n-bolas de x y c está determinado por el mapa del (n-1)-esqueleto de x a T. Luego (teorema) C_*(maps(M, T)) es homotópicamente equivalente al colímite homotópico de F.
Dudo que la construcción anterior sea nueva, pero no la he encontrado en ningún lugar. De ahí la pregunta en la primera oración anterior.
EDIT: Parece que el caso especial, donde T es n-conexo y usamos la categoría no decorada D en lugar de D_T, existe en alguna forma en la literatura (ver la respuesta de Oscar Randal-Williams a continuación). Por lo tanto, estoy especialmente interesado en el caso donde no se hacen suposiciones sobre la conectividad de T.
