Cómo utilizar el Lagrange del resto de probar que log(1+x) = suma(...)?

Question

El uso de Lagrange del resto, tengo que demostrar que:

$\log(1+x) = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n}, \; \forall |x| < 1$

No estoy muy seguro de cómo hacer esto. Empecé con la serie de Taylor para $x_0 = 0$:

$f(x_0) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \cdot x^n + r_n$ donde $r_n$ es el resto. Entonces, he utilizado la inducción para demostrar que la n-ésima derivada de $\log(1+x)$ puede ser escrita como:

$f^{(n)} = (-1)^{n+1} \cdot \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}, \forall n \in \mathbb{N}$

He conectado esta fórmula en la serie de Taylor para $\log(1+x)$ y terminó con:

$f(x_0) = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n} + r_n$, lo que ya parecía bastante prometedor.

Como la fórmula que tengo para demostrar que no tiene que resto $r_n$, traté de mostrar que $\lim_{n \to \infty} r_n = 0$, el uso de Lagrange del resto de fórmula (por $x_0 = 0$$|x| < 1$).

Así que ahora yo, básicamente, mostró que la fórmula es válida para $x \to x_0 = 0$. También me mostró que el radio de convergencia de esta potencia de la serie es $r = 1$, es decir, el poder de la serie converge $\forall |x| < 1$.

Lo que me molesta, es el hecho de que, en mi opinión, la fórmula sólo es válida para $x \to 0$. Quiero decir seguro, el radio de convergencia es 1, pero, ¿en realidad me dicen que la fórmula es válida dentro de la $(-1,1)$? Nunca he hecho algo como esto antes, por lo tanto la inseguridad. Yo estaría encantado si alguien me podría ayudar y decirme, si las cosas que he mostrado son ya suficientes o si, todavía tengo que probar algo.

Answer 1

$f(x_0) = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n} + r_n$

Que debería decir

$$f(x)=\sum_{n=1}^k (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n} + r_k(x),$$

donde $r_k$ es el término de error de la $k^\text{th}$ suma parcial. Usted desea utilizar las estimaciones muestran que el término de error va a$0$$k$$\infty$, lo que va a justificar la convergencia de la serie a $f(x)=\log(1+x)$.

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Edit: me he golpeado a través de parte de mi respuesta, que se basó en una estimación incorrecta de los derivados, como ha señalado Robert Pollack. Con la perdida de la $k!$ plazo, se estima que sólo funciona en $[-\frac{1}{2},1)$.

Agregado: Para hacer esta respuesta un poco más útil, me decidí a buscar un método correcto. Spivak en su libro de Cálculo (3ª Edición, página 423) utiliza la fórmula $$\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-\cdots+(-1)^{n-1}t^{n-1}+\frac{(-1)^nt^n}{1+t}$$ para escribir el resto como $r_n(x)=(-1)^n\int_0^x\frac{t^n}{1+t}dt$. La estimación de $\int_0^x\frac{t^n}{t+1}dt\leq\int_0^xt^ndt=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ tiene al $x\geq0$, y el más difícil de estimar $\left|\int_0^x\frac{t^n}{1+t}\right|\leq\frac{|x|^{n+1}}{(1+x)(n+1)}$, cuando se $-1\lt x\leq0$, se da como Problema 11 en la página 430. La combinación de estos, se puede mostrar que la secuencia de los restos converge uniformemente a $0$ $[-r,1]$ por cada $r\in(0,1)$.

De Lagrange forma de que el término de error puede ser utilizado para hacer esto. Las estimaciones, que siga a partir del teorema de Taylor, también se encuentran en Wikipedia. En este caso, si $0\lt r\lt 1$, $|f^{k+1}(x)|\leq \frac{1}{(1-r)^{k+1}}$ siempre $x\geq-r$, por lo que tiene la estimación de $|r_k(x)|\leq \frac{r^{k+1}}{(1-r)^{k+1}}\frac{1}{(k+1)!}$ todos los $x$$(-r,r)$, que puede mostrar va a $0$ (debido a que (k+1)! crece más rápido que la función exponencial $\left(\frac{r}{(1-r)}\right)^{k+1}$), mostrando así que la serie converge uniformemente a$\log(1+x)$$(-r,r)$. Desde $r$ fue arbitraria, esto demuestra que la serie converge en $(-1,1)$, y la convergencia es uniforme sobre compactos de subintervalos.

Answer 2

Creo que hay un problema con la solución anterior. En la estimación, $$|f^{(k+1)}(x)| \leq \left(\frac{1}{1-r}\right)^{k+1},$$ there is a dropped $k!$. De hecho, se debe leer, $$|f^{(k+1)}(x)| \leq \left(\frac{k!}{1-r}\right)^{k+1},$$ y así $$ |r_k(x)| \leq \left( \frac{r}{1-r} \right)^{k+1} \cdot \frac{k!}{(k+1)!} = \left( \frac{r}{1-r} \right)^{k+1} \cdot \frac{1}{k+1}. $$ Lamentablemente ahora esta expresión no vaya a $0$ si $r>0$ (ahora el término exponencial se dominan $\frac{1}{k+1}$).

La solución anterior no funciona para x en (-1/2,1). He aquí una manera de manejar el resto de los casos. De hecho, vamos a tomar x en (-1,0). Ahora de Lagrange forma de que el resto da: $$ r_k(x) = \int_0^x \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!} (x-t)^{k} dt = \int_0^x \frac{(-1)^k}{(1+t)^{k+1}} (x-t)^{k} dt $$ Tenga en cuenta que para $x<0$, la de arriba integrando tiene el mismo signo para todos los $t$. En particular, $$ |r_k(x)| = \int_x^0 \frac{1}{(1+t)^{k+1}} (t-x)^{k} dt. $$ Considere la posibilidad de $\frac{t-x}{1+t}$ como una función en $t$ $x$ fijo. Entonces es una función creciente en [x,0] con el valor máximo de $-x$ al $t=0$. Por lo tanto, $$ |r_k(x)| \leq \int_x^0 (-x)^k \frac{1}{1+t} dt \leq \int_x^0 (-x)^k \frac{1}{1+x} dt = \frac{(-x)^{k+1}}{1+x}. $$ Como se desea, esta última expresión no vaya a$0$$k \to \infty$$-1<x<0$.

Tenga en cuenta que en Spivak del Cálculo, el más fuerte de obligado $$ |r_k(x)| \leq \frac{(-x)^{k+1}}{(1+x)(1+k)} $$ se deja como Ejercicio 16 en el Capítulo 20. No veo la manera de conseguir esto, pero estoy ansioso de que me estoy haciendo algún error en los cálculos anteriores.