Un argumento de un artículo del blog de Terence Tao

Question

Dejemos que $A_1, A_2, A_3, \ldots , A_m$ sean matrices hermitianas semidefinidas positivas y entonces consideremos el polinomio $p(z,z_1,z_2,\ldots,z_m) = \det(z+z_1A_1 + z_2A_2 + \cdots+z_mA_m)$

Ahora Tao argumenta que si $z,z_1,z_2,\ldots,z_m$ tienen una parte imaginaria positiva, entonces la "parte de la junta de inclinación" (¿qué es esto?) de $z+z_1A_1 + z_2A_2 + \cdots+z_mA_m $ es estrictamente definida positiva y, por tanto, la forma cuadrática $\operatorname{Im} [ \langle (z+z_1A_1 + z_2A_2 + \cdots+z_mA_m)v, v \rangle ]$ es no degenerado y por lo tanto se deduce que $z+z_1A_1 + z_2A_2 + \cdots+z_mA_m$ es no singular.

¿Puede alguien ayudar a entender qué ha pasado aquí?

Answer 1

Para una matriz $X$ en $\mathbb{C}$ podemos escribir $X = \frac{1}{2}(X + X^\dagger) + \frac{1}{2}(X - X^\dagger)$ con el primer término autoadjunto y el segundo término adjunto. Pongamos $A = z + z_1 A_1 + \cdots + z_n A_n$ para que $p = \det A$ . Entonces $$A^\dagger = \bar{z} + \bar{z_1} A_1 + \cdots + \bar{z}_m A_m,$$ y así $$\frac{1}{2}(A - A^\dagger) = \text{Im }z+ (\text{Im }z_1) A_1 + \cdots + (\text{Im } z_m)A_m,$$ que es claramente positivo-definido.