Si $a+b=x$$ab=y$, ¿cuál es la manera más rápida de resolver para$a$$b$?

Question

El enfoque mecanicista sería simplemente sustituto $b=y/a$ en la primera ecuación para obtener una ecuación cuadrática en $a$. Pero al ver la sencillez de la givens, creo que debe haber alguna mejor y elegantes maneras de hacer esto.

La mejor manera que puedo pensar es esto:

$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \iff (a-b)^2 = x^2 - 4y \iff a-b = \pm\sqrt{x^2 - 4y}$

La solución de este con $a+b=x$, obtenemos el resultado.

Podría darse el caso de que no hay muchas formas, pero eso está bien. Si hay, yo estaría interesado en leerlos.

Edit: Además, si sabemos que tanto $a$ $b$ son no-negativos, podemos utilizar esta información para una mejor solución?

Answer 1

Nosotros siempre obtener una ecuación cuadrática.

Tal vez un poco más fácil si utilizamos la siguiente observación (Viète fórmulas): $$(Z-a)(Z-b)=Z^2-(a+b)Z+ab\,.$$ Por eso, $a,b$ son sólo las soluciones de $Z^2-xZ+y=0$.

Answer 2

Método de $1$: La ecuación cuadrática del método de

Método de $2$ : El que usted menciona en su pregunta.

Método De $3$ : (Casos Especiales)

Compruebe siempre para casos especiales y condiciones especiales antes de ir sobre la solución.

Condiciones como $(a,b)$ son enteros puede ayudar. Condición como $(a,b)$ son positivas también pueden ayudar en algunos casos en los que usted puede usar AM $\geq$ GM y la solución podría ser la igualdad caso.

Answer 3

Un enfoque estándar (Buchberger del algoritmo para encontrar un Grobner base) para la resolución de sistemas de ecuaciones polinómicas implica la cancelación de monomials. Podemos usar $a$ en una ecuación para cancelar $ab$ como sigue:

$$b (a+b) - ab = b x - y $$ $$ b^2 = bx - y$$

y luego resolver la ecuación cuadrática para $b$.