¿Es una unión finita de conjuntos acotados en cualquier espacio métrico?

Question

En cualquier espacio métrico $(M,d_M)$ Considera que $n$ subconjuntos limitados $S_i\subset M$ . Entonces, es $\cup_i^nS_i$ ¿limitada? Si es así, ¿por qué?

Answer 1

Por supuesto. Un conjunto es $S$ acotado si para cada $p$ en el espacio hay algo de $r_S$ tal que $S \subset B(p,r_S)$ . Para las uniones finitas tomamos el máximo de los $r_S$ en la unión.

Answer 2

Dado que cada $S_j$ está acotado, existe un punto $p_j$ tal que $S_j\subset B(p_j,r_j)$ . Ahora toma $p=p_1$ , $r=\max\{r_1,\ldots,r_n\}+\max_j\{d(p_1,p_j)\}$ . Si $x\in S_j$ entonces $$ d(x,p)\leq d(x,p_j)+d(p_j,p_1)\leq r_j+d(p_j,p_1)\leq r. $$ Así que $x\in B(p,r)$ y esto demuestra que $S_j\subset B(p,r)$ para todos $j$ . Así, $$ \bigcup_j S_j\subset B(p,r). $$

Answer 3

En los comentarios dice que su definición de limitado $S$ es $$ \mathrm{diam}(S) < +\infty. $$

Quiere demostrar que si $S$ está acotado y $x\in M$ es un punto cualquiera, entonces $$ \sup_{y\in S} d(x,y) < +\infty $$ (utilizar la desigualdad triangular) y entonces se puede demostrar fácilmente esta última desigualdad para la unión finita de conjuntos acotados.