Supongamos $f\geq 0$ ser una función medible tal que
$$\int_Bf\leq \frac{m(B)}{1+m(B)}$$ para cualquier pelota.
A continuación, mostrar que $$\int_{\mathbb{R}^n}f(kx)g(x)\to 0$$
como $k\to \infty$ cualquier $g$ integrable en $\mathbb{R}^n$.
Respuesta
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Esta es una especie de Riemann-Lebesgue Lema, pero no estoy seguro de si se puede obtener una prueba de solo.
De todos modos, primero vamos a tenga en cuenta que si queremos demostrar la afirmación de $g\geq0$ hemos terminado, ya que $$ \left|\int_{\mathbb{R}^n}f(kx)g(x)\dm\right|\leq\int_{\mathbb{R}^n}f(kx)|g(x)|\,dm. $$
La hipótesis de $f$ implica que el $f$ es integrable y $\int f\,dm\leq1$. De hecho, vamos a $B_n$ ser la bola de radio $n$ centrada en el origen. Luego, por la Monotonía de Convergencia, $$ \int f\,dm=\lim_n\int f\; 1_{B_n}\,dm=\lim_n\int_{B_n} f\dm\leq 1. $$
Sabiendo que $f$ es integrable, casi todos los puntos en $\mathbb{R}^n$ es un punto de Lebesgue, por lo $f\leq1$.e. por la desigualdad $$ \frac1{m(B)}\int_Bf\dm\leq\frac1{1+m(B)}. $$
La integrabilidad de $g$ implica que $$ \lim_{K\to\infty}\int_{g>K}g=0. $$ Dado $\varepsilon>0$, elegimos $K$ tal que $\int_{g>K}g\,dm<\varepsilon$. Entonces, la escritura de $g_K$ para la función de $g\;1_{g\leq K}$, \begin{eqnarray} \int f(kx)g(x)\,dm&=&\int_{g\leq K}f(kx)g(x)\,dm +\int_{g>K}f(kx)g(x)\,dm\\ &\leq&\int f(kx)g_K(x)\,dm +\varepsilon\\ &=&\frac1{k^n}\int f(t) g_K(t/k)\,dm+\varepsilon\\ &\leq&\frac{K}{k^n}+\varepsilon. \end{eqnarray} Así $$ \limsup_{k\to\infty}\int f(kx)g(x)\dm\leq\varepsilon. $$ Como $\varepsilon$ fue arbitraria, llegamos a la conclusión de que el $\limsup$ es cero, y por lo que el límite existe y es igual a cero: $$ \lim_{k\to\infty}\int f(kx)g(x)\,dm=0. $$
(gracias a Norberto y a Nick Strehlke de las ideas para acortar la prueba)
