La desigualdad: $(x + y + z)^3 \geq 27 xyz$

Question

Editar: $a,b,c$ y $x,y,z$ son números reales positivos.

Desde $(a-b)^2 \geq 0~$ , $a^2 + b^2 - 2ab\geq0~$ y $a^2 + b^2 \geq 2ab~$ . De la misma manera, $a^2 + c^2 \geq 2ac~$ y $b^2 + c^2 \geq 2bc~$ .

Sumando estas desigualdades, $2(a^2 +b^2 + c^2) \geq 2(ab + ac +bc)~$ y en consecuencia, $a^2 +b^2 + c^2 \geq ab + ac +bc~$

Multiplicando ambos lados por $(a + b + c)$ :

$(a^2 +b^2 + c^2)(a+b +c) \geq (ab + ac +bc)(a + b + c)~~$ y simplificando esto, $ a^3 + b^3 + c^3 + \Sigma a^2 b \geq 3abc + \Sigma a^2 b $

Por lo tanto, se deduce que $a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc~$ y dejar que $a^3 = x~$ , $b^3 = y~$ , $c^3 = z~$ : $x + y + z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

Cubriendo ambos lados, $(x + y + z)^3 \geq 27 xyz~$ que debía ser probado.

Me preguntaba si hay enfoques alternativos para resolver este problema (posiblemente utilizando matemáticas de nivel superior), y si mi prueba es totalmente correcta.

Answer 1

Conozco una buena prueba. Dice así:

Dejemos que $x,y,z>0$ . Usted sabe que $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$ . Esto se puede generalizar para cuatro números $$\frac{a+b+c+d}{4}=\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}{2}\geq \sqrt[4]{abcd}.$$

Ahora escoge $a=x,b=y,c=z,d=\sqrt[3]{xyz}$ y tendrás tu desigualdad.

Para $x,y,z$ no positivo la desigualdad puede no cumplirse. Compruebe $x=-1, y=-2, z=-3$ .

Answer 2

Mi técnica favorita para demostrar desigualdades simétricas de números positivos (sobre todo si tienes un paquete de álgebra computacional) es notar que si la desigualdad es simétrica, entonces podemos suponer que las variables están ordenadas, luego reescribir la desigualdad usando la variable más pequeña y las diferencias consecutivas, expandir todo algebraicamente y notar que todos los coeficientes son positivos.

Utilizando el ejemplo que nos ocupa

$(x + y + z)^3 - 27 x y z \ge 0$

asumir w.l.o.g. $x\le y \le z$ y que $y=x+a$ y $z = x + a + b$ Así que

$\begin{align*}(x + y + z)^3 - 27 x y z &= (3x + 2a + b)^3 - 27 x (x+a)(x+a+b) \\ &= 9 a b x + 6 a b^2 + 9 x a^2 + 9 x b^2 + 12 b a^2 + b^3 + 8a^3\end{align*}$

que es mayor o igual que $0$ como todos los $x$ , $a$ y $b$ son.

Este truco no siempre funciona, pero lo hace con sorprendente frecuencia.

Answer 3

Un enfoque elemental, sin $\text{AM} \ge \text{GM}$ es utilizar la identidad

$$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)\left(\frac{(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}{2}\right)$$

Así, $$\text{if } \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} \ge 0\ \text{then } (a+b+c)^3 \ge 27abc$$

al establecer $x = \sqrt[3]{a}$ etc.

Answer 4

Busca "desigualdad de la media aritmética-geométrica". Tu prueba está bien, si asumes las variables $\ge 0$ , excepto que su notación $\Sigma a^2 b$ no es estándar.

Answer 5

A continuación se utiliza la que quizá sea la formulación más práctica de las desigualdades AM-GM, que puede encontrarse como Teorema 2.6a en el excelente libro de Ivan Niven Máximos y Mínimos sin Cálculo .

Teorema 2.6a Si $n$ Las funciones positivas tienen un producto fijo, su suma es mínima si se puede disponer que las funciones sean iguales. Por otra parte, si $n$ Las funciones positivas tienen una suma fija, su producto es máximo si se puede disponer que las funciones sean iguales.

Por funciones "positivas", Niven entiende funciones que son positivas en el dominio que nos interesa.

Para ver cómo se aplica esto al problema que nos ocupa, vemos que basta con mostrar que $(x+y+z)^3\geq 27k$ donde $k$ es el producto de $xyz$ . Evidentemente, el teorema se aplica ya que el producto es constante, por lo que el mínimo del lado izquierdo viene dado por cuando $x=y=z=\sqrt[3]{k}$ y por lo tanto el mínimo del lado izquierdo es de hecho $27k$ como se desee.

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El enunciado y la (una) prueba de las desigualdades AM-GM pueden encontrarse en página 21 del libro de Niven, mientras que la demostración del Teorema 2.6a comienza en el parte inferior de la página 27 .