Resolver una ecuación diferencial difícil

Question

¿Cómo se puede encontrar una solución analítica de forma cerrada para la siguiente ecuación diferencial?

$$\frac{d^2y}{dx^2} +(x^4 +x^2+x+c)y(x) =0 $$

donde $c\in\mathbb{R}$

Answer 1

Se puede tener una solución de forma cerrada en términos de HeunT (la función Triconfluente de Heun)

$$ y( x ) ={C_1}\,{{\rm e}^{\frac{1}{6}\,ix \left( 2\,{x}^{2}+3\right)}}{\it HeunT} \left(-\frac{{3}^{2/3}\sqrt[3]{2} \left(4\,c-1\right)}{8}, \frac{3\,i}{2}, -\frac{{2}^{2/3}\sqrt[3]{3}}{2}, \frac{i\sqrt [3]{2}\,{3}^{2/3}}{3}x \right) +{ C_2} {{\rm e}^{-\frac{1}{6}\,ix \left( 2\,{x}^{2}+3\right)}} {\it HeunT } \left( -\frac{{3}^{2/3}\sqrt[3]{2} \left(4\,c-1\right)}{8} ,-\frac{3\,i}{2}, -\frac{{2}^{2/3}\sqrt[3]{3}}{2}, -\frac{i\sqrt [3]{2}\,{3}^{2/3}}{3}x\right).$$

Answer 2

La respuesta de Maple:

eq:=diff(y(x),x$2)+(x^4+x^3+x^2+c)*y(x)=0;
dsolve(eq,y(x)) assuming real;

Answer 3

Así es como lo haría yo.

Dejemos que $p(x)=x^4+x^2+x+c$ . Poner $z=y'$ . Entonces la ecuación es equivalente al sistema $$ \begin{bmatrix}y\\ z\end{bmatrix}'=\begin{bmatrix}0&1\\-p(x)&0\end{bmatrix}\,\begin{bmatrix}y\\ z\end{bmatrix}. $$ Escribamos $A(x)$ para el $2\times 2$ matriz de arriba. Para un vector dado $\begin{bmatrix}c_1\\ c_2\end{bmatrix}$ la solución vendrá dada por $$ e^{B(x)}\,\begin{bmatrix}c_1\\ c_2\end{bmatrix}, $$ donde $B'(x)=A(x)$ . Es decir $B(x)=\begin{bmatrix}0&x\\-q(x)&0\end{bmatrix}$, with $q(x)=x^5/5+x^3/3+x^2/2+cx$. If I didn't make a mistake, the exponential is $$ e^{B(x)}=\begin{bmatrix}\cos\sqrt{xq(x)}&\sqrt\frac{x}{q(x)}\,\sin\sqrt{xq(x)}\\ -\sqrt\frac{q(x)}{x}\,\sin\sqrt{xq(x)}&\cos\sqrt{xq(x)}\end{bmatrix}. $$ Como $y$ será la primera coordenada de $e^{B(x)}\begin{bmatrix}c_1\\ c_2\end{bmatrix}$ obtenemos $$ y(x)=c_1\,\cos\sqrt{\frac{x^6}5+\frac{x^4}3+\frac{x^3}2+cx^2}+c_2\,\frac{\sin\sqrt{\frac{x^6}5+\frac{x^4}3+\frac{x^3}2+cx^2}}{\sqrt{\frac{x^5}5+\frac{x^3}3+\frac{x^2}2+cx}}. $$

Answer 4

Estoy razonablemente seguro de que esta ecuación no tiene una solución agradable. Si la tuviera, sería de la forma $y(x) = \exp(\int u(x)),$ donde $u$ es una función racional.Si quieres saber más, lee este resumen bastante bueno del algoritmo de Kovacic por Carolyn Smith.