Encontrar el número de raíces de la ecuación en $\mathbb{R}$

Question

¿Cuántas raíces de la ecuación ¿$$\\x^{x^x}=(x^x)^x\\$$ have in $\\\ mathbb{R}$?

Mis observaciones:he observado que $x=-1,1,2$ son sus raíces.

Hay otras raíces de esta ecuación?Y cómo los podemos encontrar?

Gracias.

Answer 1

$$x^{x^x}=(x^x)^x$$ $$x^{x^x}=x^{x^2}$$

Tomando logaritmo en ambos lados,

$${x^x}\,log\, \left\lvert x \right\rvert={x^2}\,log\, \left\lvert x \right\rvert$$

$$({x^x}-{x^2})\,log\,\left\lvert x \right\rvert=0$$

Considerando $log\, \left\lvert x \right\rvert=0$, obtenemos $$x=\pm\,1$$

Considerando $${x^x}-{x^2}=0$$

$${x^x}={x^2}$$

Tomando logaritmo en ambos lados,

$$x\,log\,\left\lvert x \right\rvert=2\,log\,\left\lvert x \right\rvert$$

$$(x-2)\,log\,\left\lvert x \right\rvert=0$$

Por lo tanto, $$x\,=-1\,,\,1,\,2$$

Answer 2

Usted los tiene todos. Si $x \lt 0$, $x^x$ sólo está definida para $x$ integral. Si $x$ es integral y menos de $-1$, $x^x$ no es integral y $x^{x^x}$ no está definido. Del mismo modo que por ningún lado se define por $x=0$. La única solución a menos que o igual a cero es $-1$.

Para $x \gt 0$, podemos escribir esto como $x^{(x^x)}=x^{(x^2)}$ y tomar registros de dar $x^x \ln x = x^2 \ln x$. Desde $\ln x \neq 0$ si $x=1$, podemos comprobar ese caso, la búsqueda de una solución, entonces se excluye y se dividen por el mismo. Esto le da a $x^x=x^2, x \gt 0 ,x \neq 1$ Tomando otro registro de da $x=2$ como la única solución que queda.

Answer 3

Para $ x^{x^x} = x^{x^2} $ las tres raíces son: 1 ( el doble de la raíz), y 2, que se encuentra por la sustitución de posible expansión de Taylor alrededor de la raíz y directa de la representación gráfica.