Un problema de límite: $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n} }{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{3^n} }$

Question

Necesito ayuda para resolver el límite por debajo:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n} }{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{3^n} }$$

Lo que he hecho es simplificar la parte superior: $$\frac{2^{n+1}-1}{2^n}$$

Cualquier sugerencias o soluciones será muy apreciada.

Answer 1

Sugerencia: $$ \sum_{n=0}^Cn^n=\frac{1-p^{N+1}}{1-p} $$

Answer 2

Aquí están los pasos $$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{2^k}}{\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{3^k}} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2-\frac1{2^n}}{\frac12\left(3-\frac1{3^n}\right)}$$ $$= \frac{2-0}{\frac12\left(3-0\right)} = \frac2{\frac32} = \frac43$$ Estudio de series geométricas.

Answer 3

Sugerencia: Simplificar el denominador de $$\frac{\frac{1}{3^{n+1}}-1}{\frac{1}{3}-1}=\frac{3^{n+1}-1}{2\cdot 3^n}$$

Answer 4

Simplificar el denominador de la misma manera que usted simplificado el numerador. Entonces usted tendrá una simple relación de las exponenciales.

Answer 5

Si se multiplica la parte superior por $2$, consigue $2x = 2+x$, de donde $x = 2$

Del mismo modo, la parte inferior multiplicado por $3$ da $3y = 3+y$, da $y = \frac{3}{2}$.

Así que, a continuación, encontrar $\left(\frac{2}{1.5}\right) = \frac{4}{3}$.