¿Cómo puedo calcular la fórmula de este tipo fractal de la estructura?

Question

Hice el siguiente tipo fractal de la estructura manualmente, y yo estaba tratando de convertir a una fórmula (o un algoritmo incluyendo fórmulas) para calcular algunas partes del dibujo, pero me pierdo debido a la complejidad de la estructura. Es como sigue:

Básicamente, es la secuencia de números naturales representados por las barras de la longitud del número natural, que está creciendo en todo el centro, que es el número de $1$. Gira de las agujas del reloj (a la Derecha,Abajo,Izquierda,Arriba) y el bar de al lado se inicia (se encuentra) en el cercano punto libre a $1$ en la correspondiente rotación lado que está en contacto con una barra de la anterior rotación lateral. La distancia de los números representados en barras adyacentes del mismo lado (excepto en el caso de los números que rodean $n=1$) siempre es $d=4$.

Me gustaría obtener para cada una de las $n$ los valores de los $k$ ubicado en la próxima rotación lateral (reloj inteligente) de tocar perpendicularmente al lado de la $n$.

E. g.: mirando el color naranja, la barra vertical es $n=6$, pero sólo hay cuatro barras perpendiculares a partir de la próxima rotación lateral de tocar el lado de la $n=6$. Son $k=7,11,15,19$. Otro ejemplo en azul, $n=8$ es tocado sólo por $k=17,21,25,29$ en la próxima rotación lateral. Como se puede ver en la imagen, dependiendo del número, y debido a la construcción de la estructura, a veces hay cuatro números, a veces sólo tres tocar la $n$. Los números alrededor de $n=1$ son casos especiales.

(Actualización: ampliación de la gráfica, 2015/07/06)

Hasta ahora he sido capaz de preparar manualmente gráficos básicos para tratar de entender las relaciones (todavía trabajando en ello, sólo una muestra de cómo funciona):

Si alguien me podría dar una sugerencia o idea acerca de cómo calcular los próximos $k$'s de tocar cada una de las $n$ sería muy apreciada. De hecho, probablemente este fractal ya está disponible en algún sitio, porque la idea es bastante simple, si alguien sabe de algún lugar con información, por favor hágamelo saber. Gracias!

Answer 1

En cada uno de los cuatro "escaleras" tenemos el patrón de $4 4 4 3$ de la longitud de la $15$ repitiendo periódicamente, pero las escaleras diferentes tienen diferentes fases, como resultado de los "estragos" en el centro. La completa espiral patrón se repite en $k\rightsquigarrow k+60$.

En la siguiente figura los rectángulos han sido sustituidos por los segmentos que unen los centros de los constituyentes plazas. Las escaleras se muestran en verde.

Una función de $f:{\mathbb Z}\to{\mathbb Z}$ de la producción de una escalera del tipo deseado puede obtenerse de la siguiente manera: un $f$ tiene una relación lineal parte el aumento de $4$ unidades cada $15$ pasos y en un periódico de parte de plazo,$15$. Elegimos el origen que $f(-2)=-1$, $f(-1)=f(0)=f(1)=0$, $f(2)=1$. Entonces $$f(x)= {4\over15}x +q\bigl({\rm mod}_{15}(x)\bigr)\ ,$$ virtud de la cual la función de $q$ es impar y tiene los siguientes valores: $$q(0)=0,\quad q(\pm1)=\mp{4\over15},\quad q(\pm2)=\pm{7\over15},\quad\ldots$$ Para la aplicación de los efectos podría ser más sencillo para el cómputo de estos valores una vez por todas. Pero hay también una expresión analítica para $q(\cdot)$ en forma $$q(x)=\sum_{k=1}^7 b_k\sin{2\pi k x\over15}\ .$$ Se obtiene los siguientes valores numéricos de los $b_k$: $$\eqalign{& b_1= 0.0897088,\quad b_2= 0.0670339, \quad b_3= 0.11342, \quad b_4= -0.320649, \cr & b_5= -0.07698, \quad b_6= -0.0700975, \quad b_7= -0.163906\ .\cr}$$ La siguiente figura muestra el resultado $f$, según el cual los valores obtenidos para $q$ se redondea al entero más cercano.

Ahora a la figura principal! Dejo $k$ denotar la longitud del segmento a y $k=0$ es el origen. Dado $k$, el resto de los $v:={\rm mod}_4(k)$ determina la dirección del segmento. Suponga que $v=1$. A continuación, el segmento se dirige hacia el sur y tiene una constante de $x$-coordinar dado por $x={k-v\over4}+1$. Queda por determinar el $y$coordenadas del punto de partida. Observando la figura vemos que el $x=14$ corresponde a $x=0$ en la definición de $f$. De ello se desprende que $y=f(x+1)+c$ el cual esta $c$ es el mismo para todos los $k$$v=1$. Resulta que en realidad $$y=f(x+1)-1\qquad(k\geq1)\ .$$ Dejo la discusión de los otros tres valores de $v$.