surjective mapa de los anillos con la misma dimensión

Question

Deje $A \to B$ ser un surjective homomorphism entre (unital) noetherian anillos conmutativos con la misma dimensión de Krull. Es el núcleo de este mapa nilpotent ?

Gracias a Makoto Kato y Martin Brandeburgo, parece que la respuesta a la pregunta es trivialmente falso.

Ahora suponga $A$ es un cociente de poder formal de la serie de anillos de más de un DVR, decir $\mathbb{Z}_p$ el anillo de $p$-ádico enteros. Podemos decir algo ?

Answer 1

Geométricamente, se preguntan si un cerrado de inmersión $\operatorname {Spec} B\hookrightarrow \operatorname {Spec} A$ de los afín a los esquemas de la misma dimensión es surjective.
Esto puede ser visto para ser falso (geometría algebraica es un arte visual!): inyectar $x$-eje del avión $\mathbb A^2$ a la unión de los ejes de coordenadas de avión $\mathbb A^2$.
Traducir el álgebra, la de arriba contraejemplo corresponde a la surjective álgebra de morfismos $A=k[X,Y]/(X\cdot Y)\to B=k[X]$ envío de $\bar X\mapsto X$$\bar Y\mapsto 0$ .

Editar
La traducción entre el álgebra y la geometría se basa en los siguientes resultados:
(i) Un surjective anillo de morfismos $\phi:A\to B$ da lugar a un cerrado de inmersión $f:\operatorname {Spec} B\hookrightarrow \operatorname {Spec} A$ de los afín a los esquemas de
(ii) la imagen de La $\operatorname {Image}(f)$ $f$ es el subconjunto cerrado $V(\operatorname {ker}(\phi))$ .
(iii) La igualdad de $\operatorname {Image}(f) =V(\operatorname {ker}(\phi))$ $\operatorname {Spec} A=V(0)$ mantiene si y sólo si $\operatorname {ker}(\phi)\subset \sqrt {(0)}=\operatorname {Nil}(A)$.

Nueva Edición
Si $A$ es un dominio finito con dimensión de Krull, el cierre de la inmersión $\operatorname {Spec} B\hookrightarrow \operatorname {Spec} A$ es necesariamente surjective desde una estricta cerrado subconjunto $F\subsetneq \operatorname {Spec} A$ debe tener la dimensión más pequeña que la de $ \operatorname {Spec} A$.
Desde $Nil(A)=0$ para un dominio, la traducción anterior implica que $\operatorname {ker}(\phi)\subset \operatorname {Nil}(A)=0$ , es decir, que $\phi$ es inyectiva (así como surjective).
En otras palabras, un surjective de morfismos $A\to B$ de los anillos de la misma finito Krull dimensión es un isomorfismo tan pronto como $A$ es un dominio.

Answer 2

Deje $A$ ser un Artinian anillo, que no es un anillo local. Deje $M$ ser uno de sus máximos ideales. dim $A$ = dim $A/M = 0$. Pero $M$ no es nilpotent.