Voy a cambiar las variables en la declaración, por lo que la discusión se utiliza en un aspecto más convencional de estudiar $Y$ condicional en los valores de $X$. Así, el objetivo es mostrar que
$$\Pr(Y\in J\mid X\in I) \ge \Pr(Y\in J).\tag{1}$$
Pensar en esto en términos de regresión:
Vamos a explotar el hecho de que la distribución de $Y$ condicional en $X=x$ es un estándar de la distribución de $F$ (en este caso Normal con media cero y algunos de la varianza $\sigma^2$) cuya ubicación ha sido desplazado a $f(x)$ para algunos la función $f$ (la función de regresión). Dejando $J-f(x)$ stand para todos los valores de $y-f(x)$ donde $y\in J$,esto significa $$\Pr(Y\in J\mid X=x) = {\Pr}(Y-f(x)\in J-f(x)\mid X=x)=\int_{J-f(x)} \mathrm{d}F(y).\tag{2}$$
Supongamos que los intervalos centrados alrededor de $0$ son de máxima probabilidad de los intervalos para las $F$: entre todos los intervalos de la misma anchura, estos tienen la mayor probabilidad. Eso es claro en el caso de simétrica unimodal distribuciones como la Normal. Esto puede ser escrito $$\int_J \mathrm{d}F(y) \ge \int_{J-a} \mathrm{d}F(y)\tag{3}$$ for any number $$.
Suponga $\Pr(X\in I) \gt 0$. (El otro caso es trivial demostrar). Esto nos permite escribir
$$\Pr(Y\in J\mid X\in I) = \frac{\Pr(Y\in J\text{ and } X\in I)}{\Pr(X\in I)}.\tag{4}$$
Ahora, dejando $G$ soporte para la distribución de $X$, podemos comparar los dos lados de $(1)$ mediante $(2)$, aplicando $(3)$$a=f(x)$, y se simplifica el resultado integral doble:
$$\eqalign{
\Pr(Y\J\text{ y } X\in I) &= \int_I \Pr(Y\J\mid X=x) \mathrm{d}G(x) \\
&=\int_I\int_{J-f(x)}\mathrm{d}F(y)\ \mathrm{d}G(x) \\
&\le \int_I\int_J \mathrm{d}F(y)\mathrm{d}G(x) \\
&= \int_J \mathrm{d}F(y) \int_I\mathrm{d}G(x) \\
&=\Pr(Y\J)\Pr(X\in I).
}$$
A la luz de $(4)$, dividiendo ambos lados por $\Pr(X\in I)$, el resultado es $(1)$, QED.
