Demostrando que $\alpha\approx|\alpha|$ no es constructivo

Question

$\sf ZF$ nos dice que para cada ordinal $\alpha$ hay un bijection $f:\alpha\to|\alpha|$, más o menos por la definición de $|\alpha|$, el cardenal de $\alpha$. Lo que me gustaría mostrar es que no hay manera de canónicamente elegir este bijection. Yo veo esto como un lema en un montón de negativos de construcciones, pero que parece ser el folclore.

Para ser más precisos, me gustaría demostrar que

No hay término $F$ en el idioma de $\sf ZFC$ tal que para todo $\alpha$, $F(\alpha):\alpha\to|\alpha|$ es un bijection (que probablemente se encuentre en $\sf ZFC$).

Hay una estrecha relación formulación alternativa en el objeto de idioma (no la cuantificación de términos) de $\sf ZF$:

${\sf ZF}\nvdash \exists f\,\forall\alpha<\omega_1\,f(\alpha):\alpha\overset{\rm bij.}{\to}|\alpha|$.

Esto es un poco más fuerte la demanda puesto que sólo va tan alto como $\omega_1$, pero estoy bastante seguro de que esto es demasiado para $\sf ZF$. (Por supuesto, es fácil para $\sf ZFC$ a probar esta, que es la razón por la $\sf ZFC$ versión sólo puede ser derrotada por una clase adecuada de bijections.)

Answer 1

En primer lugar observamos que si $A$ es una contables conjunto de contables de los números ordinales, y $F$ es una función tal que para cada $\alpha\in A$, $F(\alpha)$ es una inyección de $\alpha$ a $\omega$, $\bigcup A=\sup A$ también es contable.

Esto es debido a que $\bigcup A$ es una contables de la unión de manera uniforme enumerados contable de conjuntos.

A continuación, veamos la Feferman-Levy modelo, donde $\omega_1$ es singular, y observar que esto significa que no hay tal $F$ para los contables de los conjuntos de los números ordinales, y no digamos todos los contables de los números ordinales.

Answer 2

Para una respuesta positiva a la primera parte de la pregunta, quizás la cosa más fácil es considerar una extensión genérica $V[g]$ por el poset $\operatorname{Col}(\omega,\omega_1)$. En la extensión genérica hay un bijection de$(\omega_1)^V$$\omega$. Sin embargo, ninguna de estas bijection puede ser definible de $(\omega_1)^V$: el forzamiento es homogénea, por lo que todos los ordinales puede definir subconjuntos de la planta modelo en la extensión genérica en el modelo de terreno.

Para la segunda parte de la pregunta, permítanme dar una alternativa a Asaf la respuesta de mencionar que el Axioma de Determinación implica (en $\mathsf{ZF}$) que no hay ninguna función que elige, para cada contables ordinal $\alpha$, un buen orden de $\omega$ de tipo de orden $\alpha$. Esto es debido a que tales wellorderings puede ser codificado como subconjuntos de a $\omega$ utilizando un definibles función de sincronización $\omega \times \omega \cong \omega$, de modo que tal función de elección sería codificado por una función de$\omega_1$$\mathcal{P}(\omega)$, lo que claramente sería inyectiva. Sin embargo, $\mathsf{ZF} + \mathsf{AD}$ demuestra que $\omega_1$ es medible, así que no hay tal inyección de $\omega_1 \to \mathcal{P}(\omega)$ puede existir. (Para ver esto, adaptar el habitual $\mathsf{ZFC}$ prueba de que medible cardenales son fuertes límite.)