¿Qué hace a un buen matemático?

Question

Una pregunta suave pero creo que importante para ayudar a conseguir la madurez en las matemáticas.

No fue hasta que me admitieron en un programa de matemáticas aplicadas de posgrado que empecé a aprender matemáticas. Antes de eso, era un estudiante de ciencias de la vida que sólo sabía algo de cálculo de nivel básico. Cuanto más aprendía de matemáticas, más empezaba a descubrir que es más que las fórmulas, sino también las perspectivas que ayudarían a formar un buen matemático. En el libro de Terence Tao sobre el análisis real, dice que un matemático no piensa en los conceptos como un "objeto", sino que prefiere preguntarse a qué se puede aplicar un concepto, en lugar de en qué consiste. Creo que eso es inspirador y, de hecho, me ayudó a empezar a pensar como un matemático.

Mi pregunta es, cuando observas a otras personas o a ti mismo hacer matemáticas, ¿qué crees que hace a un buen matemático? ¿Qué tipo de punto de vista hay que tener para resolver un problema concreto en campos como el álgebra lineal, la topología, el análisis real, la estadística, etc.? O, mientras aprendo matemáticas, ¿a qué tipo de cosas puedo prestar atención, o puedo preguntarme, que me ayuden a pensar más como un matemático?

(Un poco más sobre lo que solía pensar antes de empezar a aprender matemáticas: Se me daba bastante bien la física, que para mí es más bien un trabajo de modelización por reducción: aplicas unos pocos principios relativos y puedes empezar a analizar cosas. Cuando se trata de un problema matemático, no funciona de esa manera. Encontré de ecuaciones a ecuaciones, aunque es "equivalente" entre dos ecuaciones, pero la información transmitida puede ser muy diferente.

También muchas veces los problemas se resuelven por una vía constructiva, que a primera vista no parece natural, pero que a menudo sí tiene sentido una vez que se tiene una visión más elevada. Por ejemplo, si se tiene la idea de que el rango y el determinante describen en realidad "lo grande" que es una matriz, se pueden empezar a resolver fácilmente los problemas de dimensión en álgebra lineal de una forma u otra. Pero hay más sutilezas en la escritura de la inversión de la matriz en adj(.)/det(.) que no es obvio para la construcción de una intuición del operador adj, pero también es poderoso en diferentes aplicaciones. Sin embargo, no hay muchos libros de texto que digan por qué debemos preocuparnos por adj).

Answer 1

Secundo la noción de Intuiton e Instintos, aunque en un contexto diferente. Muchos de los problemas de investigación difíciles son difíciles simplemente porque no hay un método de corte para resolverlos. Después de pasar por el plan de estudios básico, como el cálculo, el álgebra, el análisis, las EDP, etc., se adquiere una amplia gama de técnicas de resolución de problemas, aunque para clases específicas de problemas. Especialmente hoy en día, se necesita un conjunto aún más amplio de conocimientos para sacar adelante nuevos resultados e ideas. Sobre esta noción, creo que Freeman Dyson hace un buen trabajo al resumir Pájaros y ranas como dos clases de (buenos) matemáticos, aunque creo que (¿intencionadamente?) hace que Pájaros suene mucho mejor que Ranas. Personalmente los habría llamado Pájaros y Zorros.

Sin embargo, la cuestión es que SI un problema es abordable por los métodos actuales (por ejemplo, NO la Hipótesis de Riemann), entonces un bueno matemático debe ser capaz de proporcionar un esquema de cómo iniciar abordar el problema. Por ejemplo, al igual que una asistencia en el fútbol o el baloncesto, incluso una referencia sugerida o un lugar donde buscar puede valer tanto como escribir realmente una solución. En resumen, un buen matemático debería ser capaz (estadísticamente hablando) de dar las conjeturas o referencias correctas a un problema difícil. Por supuesto, el trabajo duro está por delante, pero dónde empezar es la mitad de la batalla.

Muchos problemas tienen cantidades de interés intuitivamente obvias. Muchas conjeturas no se basan sólo en pruebas numéricas, sino en algún conjunto de intuiciones que son coherentes con la teoría actual. Por ejemplo, en la teoría de la probabilidad se puede observar un proceso estocástico complicado y una conjetura razonable podría ser que, después de un largo tiempo, el proceso está asintóticamente descorrelacionado con sus condiciones iniciales, aunque no sea una cadena de Markov. Y, lo primero que hay que hacer al abordar un problema difícil es cumplir la regla de oro de Polya de "resolver primero un problema más sencillo". Es asombroso que a veces un problema tenga una simplificación muy manejable y luego el problema completo se resuelva con algunas modificaciones. Es como si añadir complejidad a un problema fuera muy poco lineal y a veces incluso tuviera rendimientos decrecientes. Así que yo añadiría aquí que un buen matemático debería dar grandes conjeturas para resolver primero problemas más simples que estén relacionados con el más grande.

También creo que hay un elemento de suerte. Esta parte puede ser controvertida para algunos, pero la mantengo. Personas como Ramanujan y Erdos son desviaciones muy grandes del matemático medio y creo que por esta razón son verdaderos maestros en sus campos. Se adentraron en nichos muy específicos de las matemáticas y destacaron en ellos sin igual. Incluso los matemáticos más experimentados que trabajaron toda su vida en estos nichos no habrían sido tan prolíficos como estos gigantes. Suponiendo que ya seas un matemático de semi talento, realmente creo que en este caso es un poco de suerte, estar cerca del problema adecuado en el momento adecuado con la intuición adecuada. En el caso de Ramanujan, aprendió todas sus matemáticas de una enciclopedia, así que, al menos para mí, no es realmente sorprendente que tuviera una enorme clarividencia cuando se trataba de identidades de series locas. Por otro lado, por lo que sé de su biografía (El hombre que conocía el infinito), aprendió y luchó con el análisis complejo mucho más tarde en su vida. Erdos tenía una extraña capacidad para resolver problemas y, de alguna manera, encajaba de forma natural en la combinatoria y la teoría de grafos. Así que quizá termine esta sección diciendo que un buen matemático, combinado con un poco de suerte, conoce sus nichos y tiene buenas habilidades para detectar los problemas que puede abordar.

Answer 2

Una respuesta polémica y fácil es la "intuición". Sé que no te gusta, pero lamentablemente es cierto. Todo lo que sabemos sobre el Cálculo comenzó con la intuición de Newton y Leibnitz sobre los límites, la continuidad y las derivadas e integrales. Y durante muchas décadas el Cálculo se mantuvo como una idea "intuitivamente correcta", y llegó Augustin-Louis Cauchy que lo definió rigurosamente y el Cálculo dejó de ser "intuitivo" y pronto se convirtió en una verdad matemática ampliamente aceptada. (En 1734, el obispo Berkeley criticó el cálculo diciendo que carecía de rigor y que era simplemente intuitivo; además, dijo que los matemáticos no tenían por qué criticar a las personas religiosas, dada la forma en que los matemáticos razonan por sí mismos) Pero Cauchy se aseguró de que el mayor hijo del cerebro de las matemáticas quedara "libre de controversia".

La intuición nunca es una forma aceptable de demostrar nada en matemáticas. Ramanujam demostró resultados brillantes e impactantes y ni siquiera tenía una formación adecuada en matemáticas. Cuando tenía 10 años, dominaba la trigonometría (aprendida por sí mismo) (todo lo que tenía era el libro de S.L. Lony sobre trigonometría) y demostró varios resultados por sí mismo (eso fue cuando tenía 12 años). Erdos demostró que siempre hay un primo entre $n$ y $2n$ de la manera más fácil posible (también probó otros resultados brillantes). La lista continúa. Podemos argumentar que estos resultados no son intuitivos (bueno, no del todo) pero la propia idea de un sistema formal matemático tiene lo que se llama axiomas que son completamente intuitivos. Son puntos de partida o verdades que no se pueden demostrar ni refutar, sólo aceptar en buena fe . William Feller, en su libro clásico sobre la probabilidad, reconoce que la intuición matemática puede desarrollarse mediante el entrenamiento

Formalmente, se desaconseja la intuición, es el pensamiento lúcido y la originalidad (el trabajo de Cantor sobre las transfinitas) y la creatividad (los teoremas de incompletitud de Godels) lo que llega lejos. Además, se ha comprobado que muy pocas de las ecuaciones de Ramanujam son erróneas, ya que él se basó principalmente en la intuición para elaborarlas.

Bueno, respecto a tu pregunta de cómo resolver cualquier cosa en topología, etc. Máquinas de arriba a abajo o de abajo a arriba es lo que somos todos. Esto es lo más formal que te puede dar cualquiera. Empieza con un axioma o teorema conocido y busca tu solución. Con suerte, a través de la práctica serás capaz de hacer esto de forma subconsciente. Una chispa de creatividad siempre te lleva a un ámbito de pensamiento diferente. Como ejemplo, no se me ocurre nada mejor que el problema de la abeja viajera (literalmente, no hay un solo alma que conozca que no conozca este problema): Dos trenes separados por 150km se dirigen el uno al otro (para una inminente colisión) a 50km/hora. Una abeja parte de un tren y vuela, a 75km/h, (en línea recta) hacia el otro, en el momento en que llega al otro tren invierte su dirección y continúa así hasta morir aplastada. ¿Cuál es la distancia que recorre la abeja? Ahora puedes sumar una serie geométrica para obtener la respuesta o multiplicar 75 y 3. Lo mejor de este problema es que cuando el periodista se lo preguntó a John von Neumann, éste dio la respuesta al instante. El reportero le preguntó: "¿Has multiplicado?". Él respondió: "¡No, he sumado la serie!". Creo que eso es un buen matemático.

Como sugirió @PeteClark no hay ninguna relación antagónica entre el formalismo y el intuicionismo. El razonamiento formal es sólo el medio por el que se comparten o prueban las ideas intuitivas.

Answer 3

Condición necesaria pero no suficiente: reconoce la importancia de las buenas definiciones.