Mapa de cobertura en el disco de la unidad

Question

Dejemos que $f: D^2 \rightarrow X$ ser un mapa de cobertura. Estoy tratando de mostrar que $f$ debe ser de hecho un homeomorfismo. Para ello, creo que basta con demostrar que $f$ es inyectiva. Además, si sólo un punto de $X$ tiene una preimagen finita, podemos utilizar un argumento de conectividad para demostrar que $f$ es inyectiva en todas las $D^2$ . Hasta ahora, he intentado demostrarlo utilizando la compacidad para obtener conjuntos abiertos finitos de $X$ que cubren $X$ y cada una de ellas está cubierta por igual bajo $f$ pero no han tenido éxito. ¿Alguna sugerencia?

Además, me pregunto cómo se generaliza esto a otros espacios compactos y simplemente conectados. ¿Es lo mismo si sustituimos $D^2$ por $D^n$ , $n=1,3,4,5...$ ?

Answer 1

Lo siento, puedo publicar esto como respuesta:

El teorema se cumple para cualquier $D^n$ (el cerrado disco).

Prueba: Basta con demostrar que $X$ es simplemente conectado, es decir, que $\pi_1(X) = 0$ . Por la teoría del espacio de cobertura, ya que $D^n$ es simplemente conexo, esto es lo mismo que demostrar que el grupo de transformaciones de cubierta de $p: D^2\rightarrow X$ es trivial. Pero cualquier transformación de cubierta es, entre otras cosas, un mapa $f: D^n \rightarrow D^n$ . Por el teorema de Brouwer esto tiene un punto fijo, pero esto implica que $f$ es la identidad.

En efecto, elija $x\in D^2$ arreglado por $f$ . Elige un camino $\Gamma: [0,1] \rightarrow D^n$ de $x$ a cualquier otro punto $y$ . Entonces $f \circ \Gamma$ es un camino en $D^n$ y como $p\circ f = p$ (según la definición de "transformación de la cubierta"), $p \circ f \circ \Gamma = p \circ \Gamma$ . De esto y del hecho de que $f(x) = x$ que $f \circ \Gamma$ y $\Gamma$ son elevaciones del mismo camino con el mismo punto de partida, por lo que coinciden por la propiedad de elevación única, por lo que en particular tienen el mismo punto final. Así, $f(y) = y$ y la prueba está hecha ya que $y$ es arbitraria.

Answer 2

Creo que se puede hacer lo siguiente suponiendo $X$ está conectado.

a) Utilice el lema de elevación universal para demostrar que $\pi_1(X)$ es trivial.

b) Utilice el hecho de que el tamaño de la fibra es el índice de $f_{\ast}\pi_{1}(D^2)$ en $\pi_1(X).$

Answer 3

Además, se puede razonar así:

Dejemos que $p:D^n\to X$ sea una cobertura. Ya que $\pi_1(D^2)=1$ es normal visto como un subgrupo de $\pi_1(X)$ y, por lo tanto, la cobertura $p$ es regular, por lo que el grupo de transformación de la cubierta actúa transitivamente sobre cualquier conjunto $p^{-1}(x)$ , $x\in X$ . Si la cubierta es $m$ -con $m>1$ entonces hay un elemento no trivial en el grupo de transformación de la cubierta, que actúa sobre $m$ puntos de $p^{-1}(x)$ . Pero por el teorema del punto fijo, cualquier transformación de este tipo debería tener un punto fijo en $D^n$ y, por tanto, ser trivial, ya que todas las transformaciones de la cubierta actúan libremente. Por lo tanto, $m=1$ et $p$ es un homeomorfismo.