Período de repetición de decimales

Question

Nota: Esta pregunta es sensible a la base. Por lo tanto, supongamos que hemos fijado una base $b$ . Por abuso de terminología, seguiré utilizando la palabra "decimal".

Esta pregunta gira en torno al periodo de repetición de decimales. Para un número entero $i$ define $f(i)$ como el período de expansión de $i^{-1}$ o $1$ si la expansión decimal de $i^{-1}$ termina. A modo de ejemplo, $f(3) = 1$ o $2$ en función de $b$ .

Ahora bien, el comportamiento de $f$ es una deliciosa mezcla de patrón y caos. Yo (creo que) he encontrado tres cosas hasta ahora:

1) Para cualquier $i$ , $f(i) \leq (i-1)$ .

2) Si $i$ divide un número de la forma $b^{n-1} + 1$ o $b^n - 1$ (en su caso $n$ ) entonces $f(i) \leq n$ (Creo que se trata de una igualdad si $n$ es mínima).

3) Si $i = j_1\cdot j_2$ con $j_1$ y $j_2$ coprimo, entonces $f(i) \leq \text{lcm}(f(j_1), f(j_2))$ .

Ahora, lo que quiero saber es si estos tres puntos son correctos o no, y si el límite superior de $f(i)$ dado por estos tres puntos juntos es efectivamente el valor.

Answer 1

Por periodo, supongo que te refieres a un periodo mínimo, de lo contrario hay inifinitamente muchos periodos.

Escriba a $i=x_iy_i$ donde cada factor primo de $x_i$ divide $b$ y $\gcd(y_i, b)=1$ . Entonces $f(i)=f(y_i)=ord_{y_i}(b)$ donde $ord_{y_i}(b)$ es el orden multiplicativo de $b \pmod{y_i}$ .

Esto se debe a que:

$x_i$ no afecta al periodo mínimo $f(i)$ .

Si $y_i \mid (b^n-1)$ para algunos $n$ entonces $b^n-1=ky_i$ entonces $$\frac{1}{y_i}=\frac{k}{b^n-1}=\frac{k}{b^n(1-b^{-n})}=\frac{k}{b^{n}}+\frac{k}{b^{2n}}+ \ldots$$

Así que $\frac{1}{y_i}$ tiene $n$ como a período. Dado que el $n$ viene dada por $ord_{y_i}(b)$ , $f(y_i) \leq ord_{y_i}(b)$ .

Por otra parte, dado que $f(i)$ es un período, sea $l$ sea el número que representa la cadena repetida, por lo que podemos escribir $$\frac{1}{y_i}=\frac{l}{b^{f(i)}}+\frac{l}{b^{2f(i)}}+ \ldots=\frac{l}{b^{f(i)}(1-b^{-f(i)})}$$

Así $b^{f(i)}-1=ly_i$ Así que $f(y_i) \geq ord_{y_i}(b)$ .

Ahora volvamos a sus resultados.

1 es correcto en su mayor parte, ya que tenemos $f(i)=f(y_i)=ord_{y_i}(b) \leq \varphi(y_i) \leq y_i-1 \leq i-1$ para $y_i>1$ y si $y_i=1$ , $f(i)=1 \leq i-1$ para $i>1$ . La única excepción es $i=1$ como $f(i)=1>1-1$ .

2 es parcialmente correcto. El $b^n-1$ parte es correcta, pero no la $b^{n-1}$ parte.

3 es correcto. $y_i=y_{j_1}y_{j_2}$ así que $f(i)=ord_{y_i}(b)=lcm(ord_{y_{j_1}}(b),ord_{y_{j_2}}(b))=lcm(f(j_1),f(j_2))$ .