Una interesante ecuaciones diferenciales problema

Question

Supongamos que tenemos cuatro hormigas, inicialmente en reposo, en las cuatro esquinas de un cuadrado centrado en el origen. Comienzan a caminar hacia la derecha, cada hormiga caminando directamente hacia el uno en frente de él. Supongamos también que cada hormiga camina con la unidad de velocidad, derivar una ecuación diferencial que describe las trayectorias.

Pensamiento:

Aquí está la situación del problema

Después de algún tiempo $t$, las hormigas están ahora en puntos de $E,F,G,H$. Si denotamos por a $\mathbf{r(t)}$ la posición de hormiga en $A$, sabemos $\mathbf{r(0)} = (1,1)$ y después de algunos $t$, en punto de $E$,$\mathbf{r(t)} = (x(t),y(t)) = E $. Nos da que

$$ \frac{ y - 1 }{x - 1 } = 1 $$

Además, el uso de la arclength fórmula, sabemos que el camino de la hormiga $A$ es

$$ \int\limits_0^t \sqrt{ (x')^2 + (y')^2 } dt $$

Estoy en el camino correcto?

Answer 1

aquí está mi intento. busquemos una solución simétrica. así que voy a suponer que las hormigas en $re^{i\theta}= z, iz, -z, -iz$ la ecuación diferencial satisfecho por la hormiga en $z$ $$ \frac{d}{dt}\left(re^{i\theta}\right) = e^{i (\theta + 3\pi/4)} .$ $ esto puede ser escrito como $$\frac{d r}{dt} = -\frac 1 {\sqrt 2}, \ \frac{d \theta}{d t} = \frac 1{r\sqrt 2} \mbox{ with the initial conditions } r = \sqrt 2, \theta = \pi/4. $$

esto tiene solución $$ r = \sqrt 2 - \frac t {\sqrt 2}, \theta = \pi/4 + \ln\left( \frac 2{ 2-t}\right), 0 \le t < 2.$$

Answer 2

En general, la ecuación diferencial que cada hormiga (indexado $i,$ y cíclica, de modo que $n + 1$ es lo mismo que $1$) es de la siguiente manera

$\frac{d\bf{r}_i}{dt} = v \frac{\bf{r}_{i+1} - \bf{r}_i}{||\bf{r}_{i+1} - \bf{r}_{i}||}$

donde $v$ es de la hormiga velocidad y $||\cdot||$ denota la longitud del vector (2-norma).

Como la otra respuesta menciona, para este caso especial donde las hormigas están dispuestos en un cuadrado, es posible establecer un sistema de ecuaciones simples para encontrar las trayectorias.

Answer 3

Vamos $\,\boldsymbol{x}(t)$, $\boldsymbol{y}(t)$, $\boldsymbol{z}(t)$ y $\boldsymbol{w}(t)$ ser los vectores que describen las posiciones de los cuatro hormigas, y vamos a $$ \boldsymbol{Un} \,=\, (1,1), \,\, \boldsymbol{B} \,=\, (-1,1), \,\, \boldsymbol{\varGamma} \,=\, (-1,-1) \,\,\, \text{y} \,\,\, \boldsymbol{\varDelta} \,=\, (1,-1), $$ ser su posición inicial. Como la primera hormiga persigue a la segunda, la velocidad de $\,\boldsymbol{x}'(t)\,$ de la primera hormiga tendrá la misma dirección, con el vector de $\,\boldsymbol{y}(t)-\boldsymbol{x}(t),\,$ que conecta a los dos hormigas, es decir, $$\,\boldsymbol{x}'(t)\,\varpropto\,\boldsymbol{y}(t)-\boldsymbol{x}(t),$$ y como su velocidad es la de la unidad de la norma, $\,\|\boldsymbol{x}'(t)\|=1,$ donde $\,\|\cdot \|\,$ es el Eucidean norma en $\mathbb R^2$, luego $$\,\boldsymbol{x}^\prime \,=\, \frac{\boldsymbol{y-x}}{\|\, \boldsymbol{y-x} \|}.$$

Del mismo modo, obtenemos las ecuaciones de movimiento de los restantes tres hormigas. De este modo, obtener el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias: $$ \boldsymbol{x}^\prime \,=\, \frac{\boldsymbol{y-x}}{\| \boldsymbol{y-x} \|}, \,\,\, \boldsymbol{y}^\prime \,=\, \frac{\boldsymbol{z-y}}{\| \boldsymbol{z-y} \|}, \,\,\, \boldsymbol{z}^\prime \,=\, \frac{\boldsymbol{w-z}}{\| \boldsymbol{w-z} \|}, \,\,\, \boldsymbol{w}^\prime \,=\, \frac{\boldsymbol{x-w}}{\| \boldsymbol{x-w} \|}, \etiqueta{i} $$ con las condiciones iniciales \begin{equation} \boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{A},\,\,\,\boldsymbol{y}(0)=\boldsymbol{B},\,\,\, \boldsymbol{z}(0)=\boldsymbol{\varGamma},\,\,\,\boldsymbol{w}(0)=\boldsymbol{\varDelta}. \tag{ii} \end{equation} Ecuaciones $(i)$ $(ii)$ forma de un problema de valor inicial (PIV) de una no lineal $8\!\times\!8$ sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Si los vectores $\boldsymbol{x}(t)$, $\boldsymbol{y}(t)$, $\boldsymbol{z}(t)$ y $\boldsymbol{w}(t)$ satisfacer a nuestros IVP y \begin{equation*} U \,=\, \left(\! \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \!\right)\!, \end{ecuación*} el ortogonal de la matriz de rotación por $\pi/2$, luego lo hacen los vectores $U\boldsymbol{w}(t)$, $U\boldsymbol{x}(t)$, $U\boldsymbol{y}(t)$ y $U\boldsymbol{z}(t)$. Global de la unicidad de las soluciones de nuestros IVP implica que \begin{equation} \boldsymbol{y}\,=\,U\boldsymbol{x},\,\,\,\, \boldsymbol{z} \,=\, U\boldsymbol{y},\,\,\,\, \boldsymbol{w} \,=\, U\boldsymbol{z} \,\,\,\,\,\,\text{and}\,\,\,\,\,\, \boldsymbol{x}\,=\,U\boldsymbol{w}. \end{equation} Esta simetría reduce el $\mathrm{(i)-(ii)}$, de un PIV de una $8\times 8$ sistema, a uno de los $2\times 2$ sistema $$ \boldsymbol{x}^\prime\,=\, \frac{{U}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}} {\|U\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}\|}, \quad \boldsymbol{x}(0) \,=\,\boldsymbol{Un}\,=\,(1,1). \la etiqueta{1} $$ Deje $\boldsymbol{\varphi}$ ser la solución de (1). A continuación, $\boldsymbol{\varphi}$ también deberá satisfacer \begin{equation} \boldsymbol{\varphi}^\prime(t) \, = \, \alpha(t) \bigl(U\boldsymbol{\varphi}(t)-\boldsymbol{\varphi}(t)\bigr) \, = \, \beta^\prime(t)(U-{\mathcal I})\boldsymbol{\varphi}(t), \tag{2} \end{equation} donde \begin{equation} \alpha(t)\,=\, \| U\boldsymbol{\varphi}(t)-\boldsymbol{\varphi}(t) \|^{-1} \qquad\text{and}\qquad \beta(t)\,=\,\int_0^t\alpha(s)\,ds. \end{equation} Por lo tanto \begin{equation} \boldsymbol{\varphi}(t)\,=\, \mathrm{e}^{\beta(t){(U-{\mathcal I})}}\boldsymbol{\varphi}(0), \end{equation} donde ${\mathcal I}$ es la unidad de $2\!\times\! 2$ matriz.

Aquí hemos utilizado el hecho de que si $\,\boldsymbol{w}'=f(t)B\boldsymbol{w},\,$ donde $\boldsymbol{w}$ $n-$vector, $f$ una función escalar y $B$ una constante $n\times n$ matriz, entonces $\,\boldsymbol{w}(t) =\mathrm{e}^{(\int_0^t f(s)\,ds)B}\boldsymbol{w}(0).$

También tenemos que \begin{equation} \mathrm{e}^{t(U-{\mathcal I})} \,=\, \mathrm{e}^{-t{\mathcal I}}\mathrm{e}^{tU} \,=\, \mathrm{e}^{-t}\mathrm{e}^{tU} \,=\, \left(\! \begin{array}{rr} \mathrm{e}^{-t}\cos t & -\mathrm{e}^{-t} \sin t \\ \mathrm{e}^{-t}\sin t & \mathrm{e}^{-t}\cos t \end{array} \!\right)\!, \end{equation} y, en consecuencia, \begin{align*} \boldsymbol{\varphi}(t) =\mathrm{e}^{-\beta(t)} \left(\! \begin{array}{rr} \cos \beta(t) & -\sin \beta(t) \\ \sin \beta(t) & \cos \beta(t) \end{array} \!\right) \left(\! \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \!\right) =\mathrm{e}^{-\beta(t)} \big(\cos\beta(t)-\sin\beta(t),\cos\beta(t)+\sin\beta(t)\big). \end{align*} También \begin{equation} (U-{\mathcal I}) \boldsymbol{\varphi}(t)= \left(\!\!\begin{array}{rr} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{array}\!\right) \boldsymbol{\varphi}(t) \,=\, -2\mathrm{e}^{-\beta(t)} \bigl( \cos \beta(t), \sin\beta(t)\bigr), \end{equation} y por lo tanto, \begin{equation} \big\| (U-{\mathcal I}) \, \boldsymbol{\varphi}(t) \big\| = 2\mathrm{e}^{-\beta(t)}. \tag{3} \end{equation} Desde $\,\| \boldsymbol{\varphi}^\prime(t) \| =1$, luego la combinación de (2) y (3) obtenemos \begin{align} 1=\big\| \boldsymbol{\varphi}^\prime(t) \big\| =\big\|\beta^\prime(t)(U-{\mathcal I})\boldsymbol{\varphi}(t)\big\| =2\,\mathrm{e}^{-\beta(t)}\beta'(t). \end{align} La integración de las anteriores en el intervalo de $[0,t]$ obtenemos que \begin{equation*} \mathrm{e}^{-\beta(t)}\,=\,1-\frac{t}{2}, \end{ecuación*} desde $\,\beta(0)=0$. Por lo tanto, \begin{equation*} \beta(t)\,=\,-\log\left(1-\frac{t}{2}\right). \end{ecuación*} Por lo tanto \begin{equation} \big\| \boldsymbol{\varphi}(t)-\boldsymbol{\chi}(t) \big\| \,=\, \big\| (U-{\mathcal I})\,\boldsymbol{\varphi}(t) \big\|=2\mathrm{e}^{-\beta(t)} =2-t. \end{equation} Por lo tanto, los cuatro hormigas, en cualquier momento dado,$t$, antes de convergencia hacia el centro de la plaza, que se encuentran en los vértices de una rotación y la disminución de la plaza de lado $$ \mu(t)=\big\| \boldsymbol{\varphi}(t)-\boldsymbol{\chi}(t) \big\|=2-t, $$ donde $\,\boldsymbol{\chi}(t)$ es la posición de la siguiente ant. Tenga en cuenta que la reducción de la tasa es constante ($d\ell/dt=1$), mientras que la rotación es descrito por el ángulo $$ \beta(t)\,=\,-\log\left(1-\frac{t}{2}\right), $$ tiende a infinito, como $t$ tiende a la hora de la convergencia $T=2$. Hasta la convergencia en el centro, cada hormiga se han cubierto la distancia \begin{equation*} s = \int_0^{2} \! \| \boldsymbol{x}^\prime(t) \|\,dt =2, \end{ecuación*} es decir, cada hormiga cubre distancia igual al lado de la plaza, antes de que todos ellos se reúnen en el centro de la plaza. También podemos obtener las trayectorias de las hormigas \begin{align*} \boldsymbol{\varphi}(t)&=\frac{2-t}{\sqrt{2}} \bigl( \cos(\beta(t)-\pi/4),\sin(\beta(t)-\pi/4) \bigr) \\ &=\frac{2-t}{\sqrt{2}} \bigg( \cos\Big(\log\Big(1-\frac t2\Big)+\frac{\pi}{4}\Big), -\sin\Big(\log\Big(1-\frac t2\Big)+\frac{\pi}{4}\Big) \bigg). \end{align*} Observar que la hormiga se han hecho infinidad de rondas alrededor del centro de la plaza antes de que convergen allí.

Answer 4

Me encontré con un problema similar a su pregunta. Y en ese enlace lo explica muy bien.

Ver en este enlace: Four-persons-K-L-M-and-N-are-initially-at-the-four-corners-of-a-square-of-side-d-Each-person-now-moves-with-a-uniform-speed-of-v-in-such-a-way-that-K-always-moves-directly-towards-L-L-directly-towards-M-M-directly-towards-N-and-N-directly-towards-K-At-what-time-will-the-four-persons-meet

Espero su ayuda.

Answer 5

Usted podría formular una ecuación diferencial para cada hormiga, pero también puede utilizar la simetría del problema. Es decir, las posiciones de cada hormiga tiene simetría rotacional. Si definimos la posición de la primera hormiga como $\begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix}^T$ con relación al origen, a continuación, la segunda hormiga tiene una posición girada 90° en sentido horario, lo que da $\begin{bmatrix}y & -x\end{bmatrix}^T$, la tercera hormiga será en $\begin{bmatrix}-x & -y\end{bmatrix}^T$ y la hormiga será en $\begin{bmatrix}-y & x\end{bmatrix}^T$.

Ahora, la primera hormiga está caminando hacia la segunda hormiga con la unidad de velocidad. De forma que la velocidad de la primera hormiga (denotado por $\vec{v}_1$) puede ser escrita como el vector que apunta desde una hormiga (denotado con $\vec{p}_1$) a ant dos (denotado con $\vec{p}_2$), que tiene una longitud de uno, que puede obtenerse dividiendo el vector por su longitud,

$$ \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = \begin{bmatrix}y & -x\end{bmatrix}^T \begin{bmatrix}x & y\end-{bmatrix}^T = \begin{bmatrix}y-x & -x-y\end{bmatrix}^T \etiqueta{1} $$

$$ \vec{v}_1 = \frac{\vec{p}_2 - \vec{p}_1}{\|\vec{p}_2 - \vec{p}_1\|} = \frac{\begin{bmatrix}y-x & -x-y\end{bmatrix}^T}{\sqrt{(y-x)^2 + (-x-y)^2}} = \frac{\begin{bmatrix}y-x & -x-y\end{bmatrix}^T}{\sqrt{2\,(x^2+y^2)}}. \etiqueta{2} $$

La velocidad de la primera hormiga es el mismo que el tiempo derivado de su posición, por lo tanto, la expresión para $\vec{v}_1$ también se usa para formular la ecuación diferencial,

$$ \frac{d}{dt}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2\, (x^2 + y^2)}} \begin{bmatrix}y-x \\ -x-y\end{bmatrix}. \etiqueta{3} $$