Convergencia uniforme de la parte real de holomorphic funciones sobre conjuntos compactos

Question

El siguiente es el ejercicio 11.8 en Rudin Real y el Análisis Complejo:

Supongamos $\Omega$ es una región, $f_n \in H(\Omega)$ $n = 1, 2, 3, \ldots$. $u_n$ es la parte real de $f_n$. $\{u_n\}$ converge uniformemente en compactos de subconjuntos de a $\Omega$, e $\{f_n(z)\}$ converge por lo menos un $z \in \Omega$. Demostrar que, a continuación, $\{f_n\}$ converge uniformemente en compactos de subconjuntos de a $\Omega$.

Mis pensamientos: Por Harnack del teorema, el límite de $u$ $\{u_n\}$ es armónico. Por lo tanto es la parte real de un holomorphic función de $f$ $\Omega$ definido hasta un imaginario constante. Utilizando el límite de $\{f_n(z)\}$, podemos encontrar esta constante. Por lo tanto $f$ está bien definido.

Lo que queda es mostrar que la parte imaginaria de $f_n$ converge a la de $f$. Sospecho que tengo que usar la de Cauchy-Riemann ecuaciones para esto, pero no puedo aplicar el familiar convergencia uniforme teoremas con derivadas parciales. ¿Qué debo hacer?

Nota: Una región está conectado a un subconjunto abierto del complejo de la llanura.

Answer 1

La siguiente desigualdad ayuda: si $D$ es un disco centrado en $z_0$, $f$ es holomorphic en $D$ y continua en $\overline D$, luego $$\sup_{D'} |f|\le \operatorname{Im}f(z_0) + 3\max_{\partial D}|\operatorname{Re}f| \tag1$$ donde $D'$ es el disco concéntrico con $D$ y la mitad del radio.

La prueba de (1) es inmediato a partir de la Schwarz integral fórmula: $$f(z)= i \operatorname{Im}f(z_0) + \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D}\frac{\zeta+z}{\zeta-z} \,\operatorname{Re}f(\zeta)\,\frac{d\zeta}{\zeta} \tag2$$ donde $$\left|\frac{\zeta+z}{\zeta-z}\right|\le 3,\qquad \zeta\in\partial D,\quad z\in D' \tag2$$

Volviendo al problema en cuestión, una aplicación de (1) las diferencias $f_n-f_m$ los rendimientos de la convergencia uniforme de $f_n$ en cualquier disco $D$ centrada en $z_0$ y compacto contenido en $\Omega$. Ahora (1) puede ser aplicado a los discos cuyos centros de mentira en el conjunto en el que la convergencia uniforme es ya conocido. La repetición de esta manera, podemos cubrir cualquier subconjunto compacto de $\Omega$ en un número finito de pasos.