...donde $M$ es un colector liso y $p, q \in M$ . ¿Alguien sabe de alguna prueba hábil o accesible de esto? Me remitieron a "On Spaces Having the Homotopy Type of a CW Complex" de Milnor, que está un poco por encima de mis posibilidades. Me preguntaba si se había descubierto algo más sencillo en las décadas transcurridas.
Edición: Parece que estos son los pasos que da Milnor (para cuyas pruebas cita documentos que no encuentro o documentos en idiomas que no leo):
Lema 1: Sea $X$ sea un espacio topológico. $X$ tiene el tipo de homotopía de un repliegue de vecindad absoluta (ANR) si $X$ tiene el tipo de homotopía de un complejo CW contable
Lema 2: Si $Y$ es una métrica compacta y $X$ es un ANR entonces el espacio de mapas $Y\rightarrow X$ es un ANR.
A partir de estos lemas puedo demostrar que $\{\gamma \in C^0([0,1],M)\}$ tiene el tipo de homotopía de un complejo CW ya que puedo demostrar $M$ tiene el tipo de homotopía de un complejo CW contable. Pero no sé cómo pasar de ahí al tipo de homotopía de un subespacio donde los extremos son fijos. Y no sé cómo demostrar los lemas.
