Evaluar complejo integral de la $\int_0^{\pi}\frac{1}{\ln{(e^{ix}\sin{x})}}dx$

Question

Quiero encontrar la integral: $$\int_0^{\pi}\frac{1}{\ln{(e^{ix}\sin{x})}}dx$$

De $\frac{1}{\ln{(e^{ix}\sin{x})}} = \frac{\ln(\sin{x})}{x^2+\ln^2(\sin{x})}-\frac{x}{x^2+\ln^2(\sin{x})}i$,

por lo tanto $$\int_0^{\pi}\frac{1}{\ln{(e^{ix}\sin{x})}}dx= \int_0^{\pi}\frac{\ln(\sin{x})}{x^2+\ln^2(\sin{x})}dx-i\int_0^{\pi}\frac{x}{x^2+\ln^2(\sin{x})}dx$$ .

Pero es difícil evaluar estos integral.

Hay otro método? Gracias.

Answer 1

Observe que la integral se puede escribir como

$$I = \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{f(e^{2ix})} = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{f(e^{ix})},$$

donde $f(z) = \log\left(\frac{i}{2}(1-z)\right)$. Usando el estándar de la rama de corte de la compleja logaritmo, $f$ tiene la rama cortada $\{ 1 - it : t \geq 0 \}$ y el único cero en $1+2i$. Por lo tanto $\frac{1}{f(z)}$ es un bien definido holomorphic de la función en $\Bbb{D} = \{z \in \Bbb{C} : |z| < 1\}$ y la media del valor de la propiedad que hemos

$$\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{f(e^{ix})} = \frac{\pi}{f(0)} = \frac{\pi}{\log(i/2)}.$$