U necesidad de utilizar la siguiente afirmación, que es en esencia la misma como respuesta saz.
Si a_{mn} en monótona creciente en m y n, entonces
\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} a_{mn}=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}a_{mn}
El uso de este obtendrá
\lim_{n\to \infty}\lim_{m\to \infty} \sum_{i=1}^m \mu_n(u_i) = \lim_{m\to \infty}\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^m \mu_n(u_i)=\lim_{m\to \infty} \sum_{i=1}^{m} \mu(u_i)
=\sum_{i=1}^{\infty} \mu(u_i)
Prueba de reclamación:
Deje M=\sup_{m\geq 1}\sup_{n\geq 1} a_{mn}. Entonces
a_{mn} \leq M \Rightarrow \sup_{n\geq 1}\sup_{m\geq 1} a_{mn} \leq M = \sup_{m\geq 1}\sup_{n\geq 1} a_{mn}
Ahora vamos a N=\sup_{n\geq 1}\sup_{m\geq 1} a_{mn}. Del mismo modo
a_{mn} \leq N \Rightarrow \sup_{m\geq 1}\sup_{n\geq 1} a_{mn} \leq N = \sup_{n\geq 1}\sup_{m\geq 1} a_{mn}
Por lo tanto M=N y hemos terminado.