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la convergencia de aumento de la secuencia de las medidas de

Deje (X,A) ser un espacio medible. Mostrar que si (\mu_n) es un aumento de la secuencia de medidas, a continuación, \mu(A) = \lim_{n\rightarrow \infty} \mu_n(A) se define una medida en (X,A).

i)\mu(\emptyset) = 0, ya que su verdadera para todos los \mu_n.

ii) \mu (\cup u_i) = \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_i \mu_n(u_i), por definición. Pero ¿cómo puedo mover el limes en el interior?

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user36150 Puntos 8

Sugerencia

\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{\infty} \mu_n(u_i) = \sup_{n \in \mathbb{N}} \sup_{k \in \mathbb{N}} \sum_{i=1}^k \mu_n(u_i) = \sup_{k \in \mathbb{N}} \sup_{n \in \mathbb{N}} \sum_{i=1}^k \mu_n(u_i) = \ldots

La primera igualdad se sigue del hecho de que la secuencia de las medidas es el aumento (es decir,\lim = \sup).

5voto

Gautam Shenoy Puntos 5148

U necesidad de utilizar la siguiente afirmación, que es en esencia la misma como respuesta saz.

Si a_{mn} en monótona creciente en m y n, entonces \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} a_{mn}=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}a_{mn}

El uso de este obtendrá \lim_{n\to \infty}\lim_{m\to \infty} \sum_{i=1}^m \mu_n(u_i) = \lim_{m\to \infty}\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^m \mu_n(u_i)=\lim_{m\to \infty} \sum_{i=1}^{m} \mu(u_i) =\sum_{i=1}^{\infty} \mu(u_i)

Prueba de reclamación: Deje M=\sup_{m\geq 1}\sup_{n\geq 1} a_{mn}. Entonces a_{mn} \leq M \Rightarrow \sup_{n\geq 1}\sup_{m\geq 1} a_{mn} \leq M = \sup_{m\geq 1}\sup_{n\geq 1} a_{mn} Ahora vamos a N=\sup_{n\geq 1}\sup_{m\geq 1} a_{mn}. Del mismo modo a_{mn} \leq N \Rightarrow \sup_{m\geq 1}\sup_{n\geq 1} a_{mn} \leq N = \sup_{n\geq 1}\sup_{m\geq 1} a_{mn} Por lo tanto M=N y hemos terminado.

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