El subconjunto no vacío H del grupo G es un subgrupo si $ab^{-1} \in H $ para cualquier $a,b \in H$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo. Demuestre que un subconjunto no vacío $H$ es un subgrupo de $G$ en su caso, sólo si $ab^{-1} \in H $ para cualquier $a,b \in H$ .

La dirección de avance es bastante fácil. Supongamos que $H$ es un subgrupo. Entonces por cierre, $ab \in H$ para cualquier $a,b \in H$ . Todo elemento tiene un inverso. Por lo tanto, si $b \in H $ entonces $b^{-1} \in H$ . Por lo tanto, por cierre de nuevo, $ab^{-1} \in H$ .

Hacia atrás, supongamos $ab^{-1} \in H $ para cualquier $a,b \in H$ . Sea $a=b$ . Entonces tenemos $bb^{-1}=1_H\in H$ . Sea $a=1_H$ tenemos $1_Hb^{-1}=b^{-1} \in H$ . No sé cómo mostrar el cierre.

Referencia: Fraleigh p. 58 Pregunta 5.45 en A First Course in Abstract Algebra

Answer 1

Tome $a$ , $b$ en $H$ entonces $c=b^{-1}\in H$ para que $a c^{-1}=a (b^{-1})^{-1}=ab\in H$ .