La teoría de conjuntos parece tener la propiedad de ser "universal", en el sentido de que cualquier rama de las matemáticas puede ser expresado en su lenguaje. Es allí cualquier otra rama de las matemáticas con esta propiedad? Me pregunto porque la teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas. Es predicado de cálculo más el binario relación ∈ además de algunos axiomas. Creo que algo similar podría decirse de la mayoría de las ramas de las matemáticas. Así que, ¿por qué la teoría de conjuntos tan único? o no?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Existe una larga y fascinante, y a menudo-dijo historia sobre el siglo xix para el proyecto de rigorization de análisis, y sobre la re-construcción de la clásica de las matemáticas en términos de números naturales y conjuntos de los números naturales y conjuntos de conjuntos de números naturales, etc. etc. (y si nos sentimos especialmente austero incluso podemos re-construir los naturales en una pura teoría de conjuntos que carece de urelements, así que todo lo que se implementa en pura teoría de conjuntos). Hay un montón de buenos recountings de la historia, he aquí un breve uno con un montón de punteros a más: http://plato.stanford.edu/entries/settheory-early/
Hago mención de la historia, porque explica por qué la teoría de conjuntos ha sido pensado para tener un especial papel "fundamental" de la arquitectura de las matemáticas. Pero, ¿realmente? Pueden categoría de teoría (por ejemplo) ofrecen una alternativa de la fundación? Ahora tenemos más de nuestra oscila alrededor de un centenar-y-veinte años atrás, cuando algunos pensaban clásica de las matemáticas, fue amenazado por las paradojas del infinito, ¿ las matemáticas necesidad universal de las fundaciones?
GRANDES preguntas, demasiado grande para aquí! Pero aquí hay una línea de pensamiento que he encontrado de los matemáticos, que tal vez subyace en algunos de los continuos guiños a el lugar especial de la teoría de conjuntos.
Supongamos que trabajan en espacios de Banach, o topología algebraica, o lo que sea, me conjetura de todos los widgets son wombats. Y, a continuación, el joven y brillante a los estudiantes de posgrado intenta probar o refutar Smith Conjetura. Joven Jane afirma haber refutado la hipótesis mediante la búsqueda de una estructura en la que hay un widget que no es un wombat.
Bien, ¿cuáles son las reglas del juego aquí? Lo del kit es Jane permitido utilizar en su construcción de la estructura? Para darle una mejor oportunidad de refutar la conjetura, ella tal vez idealmente quiere algún tipo de propósito de todos los kit que sólo mínimamente restringe lo que se puede construir-ella quiere que la matemática equivalente de un kit de Lego donde prácticamente se puede poner cualquier cosa en cualquier cosa, más que el equivalente a un edificio de kit, usted sólo puede hacer que el juguete de las casas de, o uno sólo puede hacer los coches de juguete. (Quizás Smith Conjetura funciona bien para, por así decirlo, casas y coches.)
Lo que la norma establece la teoría de la iterativo jerarquía parece proporcionar es tan sólo un propósito de todos los matemáticos kit de Lego. Empezamos con algunas cosas (o si se quiere, con nada en absoluto) y, a continuación, nos permite ponerlos juntos sin embargo le gusta en cosas nuevas y, a continuación, nos permite poner en práctica lo que hemos conseguido juntos, sin embargo nos gusta ad libitum, y a seguir adelante siempre, como nos gusta. Precisamente porque las reglas para la construcción de nuevos conjuntos permiten maximizar en cada paso (la idea es que en cada nivel se nos permite cada posible nuevo combo, y no hay límite para los niveles), en realidad queremos hacer llegar a todos la estructura de construcción de kit. Y teniendo un matemático Lego kit es justo lo que Jane necesita idealmente si ella es tener sin trabas rienda suelta en su widget que no es un wombat.
O así va la historia, en el esquema ...
