Demostrar la Desigualdad con el Mayor Entero de la Función

Question

Mostrar que

$$[(m+n)x]+[(m+n)y] \ge [mx+(n-1)y]+[my+(n-1)x]$$

donde$m,~n \in \Bbb{N}$$0\le x,~y < 1$.

Lo he intentado todo, alrededor de la mitad de un día y todavía no podía entenderlo. En realidad no sé si es cierto lo tengo que decir, "mostrar que si es justo o no". Esta pregunta se despertó de la cuestión, muestran que

$$\frac{(5m)!(5n)!}{m!n!(3m+n)!(3n+m)!}$$

es un número entero donde $m,~n$ son números naturales. Esta pregunta fue tan duro, pero fui capaz de probar por separar algunos casos. Entonces empecé a preguntarme si yo podría generalizar esta, que es de hecho la misma pregunta que me he propuesto anteriormente. Al principio, pensé que podría reemplazar a $n-1$ en la llanura $n$, pero me hizo encontrar un contra-ejemplo para el caso. Así que ahora me pregunto, si la primera proposición tiene ya que por ahora no podía encontrar ningún contra-ejemplo. Así que supongo que la desigualdad podría ser cierto.

Por favor, ayúdame! La pregunta que me está matando! Sería muy feliz si alguien pudiera sugerir alguna idea para resolver la segunda pregunta en un simple(o brillante).

EDITAR El factorial pregunta puede ser reducido a probar que el dado de la desigualdad para el caso especial cuando $m=3,~n=2$ como Ewan Delannoy había explicado muy por debajo. Esto implica que probar que la desigualdad es el mismo como la demostración de que

$$\frac{(mx)!(ny)!}{x!y!(mx+(n-1)y)!(my+(n-1)x)!}$$

es un número entero. También podemos pensar en la generalización de esta pregunta en la que demuestra el caso de que el $x,~y$ en el denominador es algo como $ax,~by$. Pero primero me acababa de ser feliz de saber cómo probar (o mostrar el contra-ejemplo) la primera desigualdad que he sugerido.

Answer 1

Deje $m=6,n=3,x=0.10,y=0.21$. $$\lfloor(m+n)x\rfloor+\lfloor(m+n)y\rfloor=\lfloor0.90\rfloor+\lfloor1.89\rfloor=0+1=1.$$ $$\lfloor mx+(n-1)y\rfloor+\lfloor my+(n-1)x\rfloor=\lfloor1.02\rfloor+\lfloor1.46\rfloor=1+1=2.$$

Answer 2

No sé si la desigualdad se cumple para todos los $m,n$, pero conozco a dos cosas :

• Es cierto para $m=3,n=2$.

• El caso de $m=3,n=2$ es suficiente para resolver la segunda pregunta.

  Para mostrar que $r=\frac{(5n)!(5m)!}{n!m!(n+3m)!(m+3n)!}$ es un número entero, es suficiente para mostrar que la valoración $v_p(r)$ es no negativa para todos los primer $p$. Pero por Legendre del teorema,

$$ v_p(n!)=\sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{x}{p^k} \rfloor \etiqueta{1} $$

Por lo que será suficiente para mostrar la siguiente :

$$ \lfloor \frac{5n}{p^k} \rfloor+ \lfloor \frac{5 m}{p^k} \rfloor \geq \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor+ \lfloor \frac{m}{p^k} \rfloor+ \lfloor \frac{n+3m}{p^k} \rfloor+ \lfloor \frac{m+3n}{p^k} \rfloor \etiqueta{2} $$

Si ponemos $x=\frac{n}{p^k}$$y=\frac{n}{p^k}$, (2) es equivalente a $d(x,y) \geq 0$ donde

$$ d(x,y)=\big(\lfloor 5x \rfloor + \lfloor 5 a \rfloor\big)- \big(\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor+ \lfloor x+3y \rfloor + \lfloor y+3x \rfloor \big) \etiqueta{3} $$

Ahora $d$ $1$- periódico en ambas variables $x$$y$, por lo que será suficiente para mostrar que el $d(x,y)\geq 0$ al $x$ $y$ ambos están en $[0,1)$. En caso de que (3) se reduce a

$$ \lfloor 5x \rfloor + \lfloor 5 a \rfloor \geq \lfloor x+3y \rfloor + \lfloor y+3x \rfloor \ (\ \text{para} \ x,y\in [0,1)) \etiqueta{4} $$

ACTUALIZACIÓN 11/22/2013

Pongamos

$$ i=\lfloor 5x \rfloor, j=\lfloor 5 a \rfloor, k=\lfloor x+3y \rfloor, l=\lfloor 3x+y \rfloor \etiqueta{5} $$

y también

$$ \begin{array}{lcl} \mu&=&i+j-(k+l), \\ \varepsilon&=&{\sf min}(i+1-5x,j+1-5y,k+1-(x+3y),l+1-(3x+y)) > 0. \\ \end{array} \etiqueta{6} $$

Entonces tenemos

$$ \begin{array}{lcl} 4(i+j)-5(k+l) &\geq& 4(5x+5y-2+2\varepsilon)-5(4x+4y)=-8+8\varepsilon \\ 3i+j-5l &\geq& 3(5x-1+\varepsilon)+(5y-1+\varepsilon)-5(3x+y)=-4+4\varepsilon \\ i+3j-5k &\geq& (5y-1+\varepsilon)+3(5y-1+\varepsilon)-5(x+3y)=-4+4\varepsilon \end{array} $$

Desde la izquierda lados son todos los números enteros, podemos deducir

$$ \begin{array}{lclc} 4(i+j)-5(k+l) &\geq& -7 & (7) \\ 3i+j-5l &\geq& -3 & (8) \\ i+3j-5k &\geq& -3 & (9) \end{array} $$

Podemos deducir a partir de (7)$4(i+j)-4(k+l) \geq -7$, lo $\mu \geq -\frac{7}{4}$. Desde $\mu$ es un número entero, debemos tener $\mu \geq -1$. Por lo que el lo único que se necesita mostrar es que el $\mu\neq -1$. Supongamos, por la contradicción, que $\mu=(-1)$. A continuación,$l=i+j-k+1$, y (8) y (9) se puede reescribir

$$ \begin{array}{lclc} -2i-4j+5k &\geq& 2 & (8') \\ -4i-2j+5l &\geq& 2 & (9') \end{array} $$

Por lo $k$ $l$ ambos $\geq\frac{2}{5}$ ; podemos deducir

$$ k\geq 1, l \geq 1 \etiqueta{10} $$

ya que son números enteros. Considere entonces los números

$$ t_1=3i+j-5l+3, \ t_2=i+3j-5k+3, \ t_3=k-1, \ t_4=l-1 $$

Todos ellos son no negativos por (8), (9) y (10), pero al mismo tiempo que su suma es $4(i+j-(k+l))=-4$ y esto es una contradicción, como deseaba.