Hay una interfaz intuitiva, no-demasiado-matemático de la forma de pensar sobre el límite de puntos?

Question

así que yo sé que esta pregunta se ha hecho muuuy muchas veces. Pero sólo tengo un par de preguntas, en particular, que a pesar de buscar, no he encontrado una respuesta. Agradezco cualquier ayuda.

El libro de la definición:

Un punto de $x$ es un punto límite de un conjunto $A$ si todos los $\epsilon$-vecindario $V_{\epsilon}(x)$ $x$ se cruza con el conjunto de $A$ en algún punto que no sea la $x$.

En particular, queríamos aclarar con la negrita parte de esta frase.

Si tomamos nuestro set $A = [1,4), A \in \mathbb{R}$, entonces el punto de $\{2\}$ ser un punto límite de la set $A$? Ya que cada epsilon barrio de $2$ intersecta $A$ en un punto distinto de $2$.

O ¿en negrita la frase implica que, el punto límite en sí mismo, no puede pertenecer al conjunto $A$? Así que en este caso, que implica, sólo $4$ es un punto límite de la set $A$ ?

Es posible que alguien le dé un diagrama de ejemplo de lo que es y no es un punto límite?

Edit: estoy tratando de conseguir un "no-matemático" idea de un punto límite, y por lo tanto voy a optar por no marcar esta pregunta como un duplicado.

Quiero decir, técnicamente se podría imaginar y entender esta definición con la $\epsilon$ definición, pero para personas como yo que son matemáticamente desafió, es bueno tener una manera diferente de pensar acerca de ella (son de la misma idea exacta, lo sé, pero esto me ayuda a conectar y entender el concepto). MI pregunta ha sido resuelto, ahora, sin embargo.

Answer 1

La primera afirmación es la correcta.

En otras palabras, podemos decir que $x$ es un punto límite de $A$ si $(V_\epsilon(x) \cap A) - \{x\} \neq \emptyset$ todos los $\epsilon$.

Answer 2

$2$ es un punto límite de $[1,4)$ debido a que en cada barrio de $2$ contiene algún otro punto de $[1,4)$. No importa que $2$ está en el conjunto (o no).

Por ejemplo, si usted toma el $\epsilon$ vecindario $V_{\epsilon}(2)$ como se menciona anteriormente, entonces si $\epsilon\geq 1$, puede utilizar ese $2.5\in V_{\epsilon}(2)\cap[1,4)$$2.5\not=2$. Por otro lado, cuando se $\epsilon<1$, puede utilizar $2+\epsilon/2\in V_{\epsilon}(2)\cap[1,4)$ $2\not=2+\epsilon/2$ desde $\epsilon>0$.

Answer 3

$2$ es un punto límite, como es $4$. Su conjunto puede contener su límite de puntos, de hecho, en la métrica de los espacios, de un conjunto cerrado se define como aquel que contiene a todos los de su límite de puntos.

Aquí está una foto que podría ayudar a http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Interior_illustration.svg/220px-Interior_illustration.svg.png

Answer 4

$2$ sería un punto límite de $A$. De hecho, todos los puntos de $[1,4]$ límite de puntos de $A$. La frase en negrita significa exactamente lo que dice, nada más y nada menos. Un punto límite $x$ es un punto si cada vecindad contiene un punto de $A$ otros $x$, o que $(V_\epsilon(x)\setminus \{x\})\cap A$ es no vacío.

Answer 5

Me parece límite de puntos a ser más fácil de entender cuando se lanza a la métrica de equipaje.

Un punto de $x$ es un punto límite de $A$ si en cada barrio de $x$ se superpone con $A-{x}$.

O, un punto de $x$ es un punto límite de $A$ si en cada barrio de $x$ se superpone con algún punto de $A$ que no es $x$.

Restamos ${x}$ incluso si $x$ no $A$ debido a que en cada barrio de $x$ ya incluye $x$, así que si no la prueba sería inútil.

Ahora todo lo que tenemos que hacer es hablar acerca de los barrios. Muchas definiciones diferentes de trabajo, de epsilon-bolas, para cualquier conjunto que contenga un conjunto abierto. La idea básica es que todo lo que $x$ "incrustado en el interior" de un barrio de $x$. Cómo decidir "incrustado en el interior" puede variar.

En un espacio métrico (un espacio con una métrica, también conocido como un concepto de "distancia" que actúa a distancia-like), podemos tomar nuestros barrios a abrir todas las bolas de radio epsilon>0. O cualquier conjunto que contiene una bola alrededor del punto, si lo preferimos.