versión debilitada de Dirichlet del teorema de prueba sin que el teorema de Dirichlet

Question

El teorema de Dirichlet los estados que la progresión aritmética cuyo primer término y la diferencia común relativamente primos, contiene infinitos números primos.

Asumir que sólo queremos una infinidad de números de una sucesión aritmética de tal forma que cada dos de ellos son relativamente primos - es posible probarlo en un modo elemental?

Answer 1

Sí. Si $a_k = ak + d$ donde $\gcd(a, d) = 1$, elija un aumento de subsequence $b_k$ como sigue. En primer lugar, $b_1 = 1$. Siguiente, $b_{i+1}$ es el más pequeño de solución positiva para el sistema de congruencias

$$b_{i+1} \equiv d \bmod a$$ $$b_{i+1} \equiv 1 \bmod b_1 b_2 \dots b_i.$$

Por hipótesis, $b_1 b_2 \dots b_i \equiv d^i \bmod a$, lo $a$ $b_1 b_2 \dots b_i$ son relativamente primos y por lo tanto el sistema tiene soluciones por el CRT. $b_{i+1}$, por construcción, es relativamente primer a $b_1, b_2, \dots b_i$.