W-álgebras de aparecer en al menos tres contextos interrelacionados.
Integrable jerarquías, como en el artículo de Leonid Dickey que mathphysicist menciona en su respuesta. Integrable ecuaciones en derivadas parciales como la ecuación de KdV se bihamiltonian, lo que significa que las ecuaciones de movimiento se puede escribir en forma hamiltoniana con respecto a dos de las diferentes estructuras de Poisson. Una de las estructuras de Poisson es constante, mientras que el otro (el llamado segundo Gelfand-Dickey soporte) define un llamado clásico W-álgebra. Para la ecuación de KdV es el Virasoro Mentira álgebra, pero para Boussinesq y de orden superior de las reducciones de la KP de la jerarquía de uno se vuelve más complicado de Poisson álgebras.
Drinfeld-Sokolov reducción, para el cual podría echar un vistazo a la obra de Edward Frenkel en la década de 1990. Esto le da un homológica de la construcción de la clásica W-álgebras a partir de una afín a la Mentira de álgebra y un nilpotent elemento. Usted puede construir también llamado finito W-álgebras de esta manera, partiendo de una finito-dimensional simple Mentira álgebra y una nilpotent elemento. El documento original es este uno por de Boer y Tjin. Una gran cantidad de trabajo va a la derecha en la de finito W-álgebras. Usted puede ser que desee comprobar hacia fuera el trabajo de Premet.
La teoría conforme de campos. Este es quizás el contexto original y, sin duda, el que les dio su nombre. Esto se deriva de este trabajo de Zamolodchikov. En este contexto, un formulario W-álgebra es una especie de vértice del álgebra de operadores: el vértice del álgebra de operadores generado por el Virasoro vector junto con un número finito de los campos primarios. Una revisión acerca de este aspecto de la W-álgebras se pueden encontrar en este informe por Bouwknegt y Schoutens.
Hay un montón de literatura sobre W-álgebras, de la que tengo conocimiento de la física matemática de la literatura de los mejores. Ellos tenían sus hey día en la Física en torno a finales de la década de 1980 y principios de 1990, cuando se ofrecía una esperanza para clasificar racional de conformación del campo de las teorías con valores arbitrarios de la central de carga. La motivación vino de la teoría de cuerdas donde usted desea tener una buena comprensión de la conformación del campo de las teorías de la $c=15$. El racional de conformación del campo de las teorías sin extendido simetría sólo existen para $c<1$, donde para superar esta ligada tenido que introducir los campos adicionales (a la Zamolodchikov). Un montón de trabajo en W-álgebras (en el sentido de 3) ocurrido durante este tiempo.
La aparición de la matriz de los modelos de la teoría de la cuerda alrededor de 1989-90 (es decir, las aplicaciones de la matriz de la teoría a la teoría de las cuerdas) centran la atención en la integración de las jerarquías, cuyas $\tau$-funciones están íntimamente relacionadas con las funciones de partición de la matriz del modelo. Esto dio lugar a un montón de trabajo en la clásica W-álgebras (en el sentido de 1 de arriba) y también a la realización de que pudieron ser construidos a la Drinfeld-Sokolov.
Las principales preguntas que le seguía preocupando la geometría de W-álgebras, por lo que uno significa una geométricas realización de W-álgebras de forma análoga a la manera en que el álgebra de Virasoro es (el universal central de extensión) de la Mentira algebra de campos vectoriales en el círculo, y la teoría de la representación. Supongo que esta última pregunta que motiva gran parte de la actual W-algebraica de investigación en Álgebra.
Agregó
En caso de que usted se está preguntando, la etimología es bastante prosaico. Zamolodchikov el primer ejemplo era un operador de vértice álgebra generada por el Virasoro vector y un peso principal campo de $W$ de peso de 3. La gente empezó a referirse a esto como Zamolodchikov $W_3$ álgebra y el resto, como dicen, es historia.
Añadió más tarde
Ben respuesta motiva el estudio de finito W-álgebras de representación geométrica de la teoría y señala que un número finito de W-álgebra puede ser visto como la cuantificación de un particular de Poisson reducción del doble de la Mentira de álgebra con el estándar de Kirillov de Poisson de la estructura. La construcción que he mencionado anteriormente es en algún sentido hacerlo en el orden inverso: primero digitalizar la Kirillov de Poisson de la estructura y, a continuación, tomar BRST cohomology, que es el análogo cuántico de Poisson de reducción.
