Qué $\sum _{ n=1 }^\infty \frac {(-1) ^n} n \sin (nx) $ convergen uniformemente en $[0, \pi )$?

Question

traté de Werierstrass M de la prueba, sino >$$\left| \frac{(-1)^n}n \sin(nx)\right| \leq \frac 1 n.$$ ¿hay alguna otra manera de hacerlo?

Answer 1

No convergen uniformemente en el intervalo dado: a grandes rasgos, los coeficientes de $\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ no se descomponen lo suficientemente rápido a cero para asegurar la convergencia uniforme. El hecho de que $\{(-1)^n\sin(nx)\}_{n\geq 1}$ se ha acotado las sumas parciales se asegura de que el dado de Fourier (sine) de la serie es pointwise convergente en $(-\pi,\pi)$, por lo que en $\mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z}$ hemos $$ \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) = W(x) \tag{1}$$ con $W(x)$ $2\pi$- función periódica igual a$\frac{x}{2}$$(-\pi,\pi)$, es decir, una onda de diente de sierra.
Esta función no es continua en a $\mathbb{R}$, y que conduce a un fenómeno de Gibbs, contradiciendo convergencia uniforme. En una forma cuantitativa,

$$\lim_{N\to +\infty}\sup_{x\in(-\pi,\pi)}\left|\frac{x}{2}-\sum_{n=1}^{N}\frac{\sin(nx)}{n}(-1)^{n+1}\right| = C > 0\tag{2}$$ y que puede ser demostrado, por ejemplo, mostrando que $\frac{x}{2}-\sum_{n=1}^{N}\frac{\sin(nx)}{n}(-1)^{n+1}$ tiene signo constante en la izquierda barrio de $\pi$ con un tamaño de $\approx\frac{\pi}{N}$ y $$ \int_{-\pi}^{\pi}\left|\frac{x}{2}-\sum_{n=1}^{N}\frac{\sin(nx)}{n}(-1)^{n+1}\right|^2\,dx =\pi\sum_{n>N}\frac{1}{n^2}\approx\frac{\pi}{N},\tag{3}$$ $$ \frac{\pi}{2}=\lim_{x\to \pi^-}\frac{x}{2}\neq \lim_{N\to +\infty}\lim_{x\to \pi^-}\sum_{n=1}^{N}\frac{\sin(nx)}{n}(-1)^{n+1}=0.\tag{4}$$

Answer 2

La serie converge a$0$$x=\pi$, por lo que si asumimos que la convergencia es uniforme en $[0,\pi)$, entonces la convergencia es uniforme en $[0,\pi]$ y, en particular, $f$ tiene que ser continua en $x=\pi$. Tome $x = \pi$ $x_N = \pi - \frac{c}{N}$ algunos $c>0$ y considerar la serie de sumas parciales

$$f_N(x) - f_N(x_N) = \sum_{n=1}^N\frac{(-1)^n}{n}2\sin\left(\frac{nx-nx_N}{2}\right)\cos\left(\frac{nx+nx_N}{2}\right) \\= \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N\frac{2}{\frac{n}{N}}\sin\left(\frac{cn}{2N}\right)\cos\left(\frac{cn}{2N}\right) = \frac{c}{N}\sum_{n=1}^N\text{sinc}\left(\frac{cn}{N}\right)$$ Esta es una suma de Riemann por lo que hemos $$\lim_{N\to\infty}[f_N(x) - f_N(x_N)] = \int_0^c\text{sinc}(t){\rm d}t \not= 0$$ aunque $x_N\to x$ contradiciendo convergencia uniforme.