Si $G$ es un producto directo de la simple grupos, entonces es cada subgrupo de $G$ isomorfo a un subgrupo de algún factor?

Question

Deje $G=N_1\times N_2\dots \times N_n$. Supongamos que $H$ es un simple subgrupo de $G$. Es $H$ isomorfo a un subgrupo de $N_i$, para algunas de las $N_i$?

Esta es una versión más débil de esta pregunta, que resultó ser falso:

Si $G$ es producto directo de la simple normal subgrupos, entonces es cada subgrupo isomorfo a algún factor

Answer 1

Deje $\pi_i:G\to N_i$ ser la proyección sobre la $i$th factor. A continuación, $\pi_i(H)\neq \{1\}$ algunos $i$ y, para esto $i$, debemos tener $\ker\pi_i=\{1\}$. Por lo tanto, $H$ es isomorfo a un subgrupo de $N_i$.

Esto es falso, si usted requiere de la igualdad. Tome $G=A_6\times A_6$ $A_5\cong H=\Delta(A_5)\leq G$ donde $\Delta(A_5)=\{(\sigma,\sigma)\mid \sigma\in A_5\}$.