$dX_t/X_t=\mu+\sigma \, dZ_t$, no esta notación sentido?

Question

Entiendo que la notación

$$dX_t=\mu X_t \,dt + \sigma X_t \,dZ_t,$$

donde $Z_t$ es el Movimiento Browniano, es un acceso directo a

$$X_t-X_0=\int_0^t\mu X_s \, ds+\int_0^t \sigma X_s \, dZ_s, \tag{*}$$

que tiene un significado preciso, ya que el Ito de la integral definida.

Pero no entiendo cuando la gente escribe:

$$\frac{dX_t}{X_t}=\mu \, dt + \sigma \, dZ_t,$$

y después ir en la definición de $\frac{dX_t}{X_t}$ como una variable. ¿Qué $\frac{dX_t}{X_t}$ significa? Para mí, se ve como la toma de $X_s$ fuera de la integral en $(*)$, que no tiene ningún sentido.

Por ejemplo, si $X_t$ es el precio de un activo, $dX_t/X_t$ a veces se define como la tasa de retorno de los activos, pero mi punto es que no es ni siquiera un matemáticamente objeto definido.

Me estoy perdiendo algo, o esta es descuidado?

Answer 1

$$\frac{dx_t}{x_t}=\mu+\sigma dz_t\\$$let $f(x)=ln(x)$ apply ito formula to find $df(x)$ $$df=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f }{\partial x^2}\\df=0dt+\frac{1}{x}dx+\frac{1}{2}(\frac{-1}{x^2})dx^2\\df=0dt+\frac{1}{x}dx+\frac{1}{2}(\frac{-1}{x^2})dx^2\\$$now put $dx_t=\mu x_tdt+\sigma x_t dz_t$ $$df=0dt+\frac{1}{x_t}(\mu x_tdt+\sigma x_t dz_t)+\frac{1}{2}(\frac{-1}{x_t^2})(\mu x_tdt+\sigma x_t dz_t)^2\\$$ $$df=0dt+\frac{1}{x_t}(\mu x_tdt+\sigma x_t dz_t)+\frac{1}{2}(\frac{-1}{x_t^2})(\mu^2 x_t^2(dt)^2+\sigma^2 x^2_t (dz_t)^2+2\mu \sigma x^2_tdtdz_t)^2\\$$ se aplican $dt.dt \to 0\\dt.dz_t \to 0 \\dz_t.dz_t \to dt$ así $$df=0dt+\mu dt +\sigma dz_t-\frac{1}{2}\sigma^2 dt$$aplican integral para ambos lados $$\int_{0}^{t}d(lnx_s)=\int_{0}^{t}(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)ds+\int_{0}^{t}\sigma dz_s\\ \ln(x_t)-\ln(x_0)=\int_{0}^{t}(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)ds+\int_{0}^{t}\sigma dz_s\\\frac{x_t}{x_0}=e^{\int_{0}^{t}(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)ds+\int_{0}^{t}\sigma dz_s}\\x_t=x_0.e^{\int_{0}^{t}(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)ds+\int_{0}^{t}\sigma dz_s}$$