Aumentar

Question

Cómo se puede maximizar $f(x) = W(x) - (\ln(x) - \ln{\ln{x}})$$x\geq 2$?

Numéricamente la respuesta parece estar en torno a $x \approx 41$ donde te $f(41) \approx 0.31$. Mathematica sugiere el máximo es de a $x= e^{1+e}$.

$W$ es la de Lambert-W función.

Answer 1

Utilizando el hecho de que

$$ W'(x) = \frac{W(x)}{x(1+W(x))} $$

calculamos

$$ f'(x) = \frac{W(x)+1-\ln x}{x\ln x(1+W(x))}, $$

así que para optimizar $f$ queremos resolver la ecuación

$$ W(x)+1 = \ln x. $$

Exponentiating ambos lados de los rendimientos

$$ e e^{W(x)} = x, $$

y después de multiplicar ambos lados por $W(x)$ esto se convierte en

$$ e W(x) e^{W(x)} = x W(x). $$

Desde $W(x)e^{W(x)} = x$ esto es equivalente a

$$ ex = xW(x) $$

o simplemente

$$ W(x) = e. $$

Así

$$ x = ee^e = e^{1+e}. $$

Conectando de nuevo en la función obtenemos

$$ f(e^{1+e}) = \ln(1+e) - 1. $$