Estoy tratando de encontrar una solución aproximada de: \begin{equation} \int_{0}^{+\infty} e^{-x}dx \ (=1) \end{equation} desde el poder de expansión de la serie de : \begin{equation} e^{-x}= 1-x+(1/2)\cdot x^2-(1/6)\cdot x^3+(1/24)\cdot x^4-(1/120)\cdot x^5+O(x^6) \end{equation} Mi Problema es que cuando me integrar la serie de término por término, los polinomios no se comportan bien con el $\infty$ plazo.. Me pueden ayudar por favor
Respuestas
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liammclennan
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La integral impropia $\int_0^\infty e^{-x}\,dx$ es igual a \begin{align*} \lim_{t\to\infty} \int_0^t e^{-x}\,dx &= \lim_{t\to\infty} \int_0^t \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^k}{k!}\,dx \\ &= \lim_{t\to\infty} \int_0^t \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k x^k}{k!}\,dx \\ &= \lim_{t\to\infty} \lim_{n\to\infty} \int_0^t \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k x^k}{k!}\,dx \\ &= \lim_{t\to\infty} \lim_{n\to\infty} \left. \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k x^{k+1}}{(k+1)!}\right|^t_0 \\ &= \lim_{t\to\infty} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1} t^{k}}{k!} \\ \end{align*}
Lo que estamos tratando de hacer es cambiar la $\lim_{t\to\infty}$ $\lim_{n\to\infty}$ operaciones. Pero esto no tiene ningún sentido, porque por un determinado $n$, $$ \lim_{t\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1} t^{k}}{k!} = \begin{cases} +\infty & \text{if %#%#% is odd} \\ -\infty & \text{if %#%#% is even} \end{casos} $$
Siempre es peligroso a la ligera de intercambio infinito de los procesos. Si es permitido, es porque de un teorema con ciertas hipótesis, y hay contraejemplos cuando los supuestos no se cumplen.
Saketh Malyala
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Hay que recordar que los polinomios en el poder de la serie de nonpolynomial funciones son infinitas.
Y si usted tiene una infinita enlazado, el polinomio crecerá unboundedly sin todos los otros el infinito términos de equilibrar el polinomio y convergen a $e^{-x}$.
También cómo se tiene previsto el enchufe en el infinito?
Masacroso
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Un enfoque alternativo es primero hacer un cambio de variable en la integral de tal manera que su inadecuado integral se convierte en una adecuada integral, y utilizar el poder de expansión de la serie de la nueva integral para calcular su resultado.
Por ejemplo, con el cambio de variable $-x=\ln t$ tenemos
$$\int_0^\infty e^{-x}\mathrm dx=\int_0^1\mathrm dt=t\Big|_0^1$$
lo que es trivial en este caso debido a que la función $f(x)=x$ es idéntica a la expansión de la energía.
Pero como las respuestas que se muestra arriba no podemos utilizar una expansión de la energía para aproximar la integral cuando uno de los límites es infinito porque para cualquier polinomio no constante $p$ tenemos que
$$\lim_{x\to\infty}p(x)\in\{-\infty,\infty\}$$
Como un complemento de comentario: otro problema de aproximar una integral usando el poder de las expansiones es que, en muchos casos, tenemos que el intervalo de integración no está incluido en el radio de convergencia, por lo que primero necesitamos reescribir la integral en un finito/infinito suma de rangos de la integración y el uso de diferentes expansión de la energía adaptados a cada intervalo de integración.
