Espacio de Sobolev $H^s(\mathbb{R}^n)$ es un álgebra con $2s>n$

Question

¿Cómo se demuestra que el espacio de Sobolev $H^s(\mathbb{R}^n)$ es un álgebra si $s>\frac{n}{2}$ es decir, si $u,v$ están en $H^s(\mathbb{R}^n)$ entonces también lo es $uv$ ? En realidad, creo que también deberíamos tener $\lVert uv\rVert_s \leq C \lVert u\rVert_s \lVert v\rVert_s$ . Recordemos que $\lVert f\rVert_s=\lVert(1+|\eta|^2)^{s/2}\,\hat{f}(\eta)\rVert$ la norma sobre $H^s(\mathbb{R}^n)$ . Este es un ejercicio del libro de Taylor, Ecuaciones diferenciales parciales I.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\begin{split} (1+|\xi|^2)^p &\leq (1+2|\xi-\eta|^2+2|\eta|^2)^p\\ &\leq 2^p(1+|\xi-\eta|^2+1+|\eta|^2)^p\\ &\leq c(1+|\xi-\eta|^2)^p + c(1+|\eta|^2)^p, \end{split}$$ para $p>0$ , donde $c=\max\{2^{p},2^{2p-1}\}$ . Poner $\langle\xi\rangle=\sqrt{1+|\xi|^2}$ . Entonces tenemos $$\begin{split} \langle\xi\rangle^s |\widehat{uv}(\xi)| &\leq \int \langle\xi\rangle^s |\hat{u}(\xi-\eta)\hat{v}(\eta)|\,\mathrm{d}\eta\\ &\leq c\int \langle\xi-\eta\rangle^s |\hat{u}(\xi-\eta)\hat{v}(\eta)|\,\mathrm{d}\eta + c\int \langle\eta\rangle^s |\hat{u}(\xi-\eta)\hat{v}(\eta)|\,\mathrm{d}\eta\\ &\leq c|\langle\cdot\rangle^s\hat u|*|\hat v| + c|\hat u|*|\langle\cdot\rangle^s\hat v|, \end{split}$$ que, a la luz de la desigualdad de Young, implica $$\|uv\|_{H^s} \leq c\|u\|_{H^s} \|\hat v\|_{L^1} + c\|\hat u\|_{L^1}\|v\|_{H^s}.$$ Por último, observamos que $\|\hat u\|_{L^1}\leq C\,\|u\|_{H^s}$ cuando $s>\frac{n}2$ .

Answer 2

Una forma de ver esto es mediante un argumento similar a la demostración de un "teorema de la traza": primero, para $f,g\in H^s(\mathbb R^n)$ con $s\ge 0$ , $f\otimes g\in H^s(\mathbb R^{2n})$ porque $1+|x|^2+|y|^2\le (1+|x|^2)(1+|y|^2)$ . A continuación, demuestre una forma fácil de un "teorema de la traza", a saber, que la restricción de $\mathbb R^N$ a $\mathbb R^{N-n}$ mapas $H^s$ a $H^{s-{n\over 2}}$ para $s> {n\over 2}$ .

Edición: en respuesta a los comentarios de @ElmarZander, ... La pregunta, tal y como se planteó originalmente, no puede ser del todo correcta, no. El argumento esbozado aquí muestra que para $s>n/2$ el producto de dos elementos en $H^s(\mathbb R^n)$ está en $H^{s-n/2-\varepsilon}$ por cada $\epsilon>0$ . No sé si se pueden afinar los resultados de mayor dimensión, pero para $n=1$ es fácil hacer ejemplos explícitos que muestren la limitación: toma $\hat{f}=\hat{g}$ para ser $|x|^{-3/4-\varepsilon}$ para $x\ge 1$ y $0$ de lo contrario. Estos son en $H^{1/2+\varepsilon'}(\mathbb R)$ . Entonces la convolución tiene un límite inferior $x^{-1/2-2\varepsilon}$ creo, así que $fg$ no está en $H^{1/2+\varepsilon'}$ .