Hartshorne ex III.10.2 sobre morfismos suaves

Question

Necesito ayuda con el siguiente ejercicio:

Dejemos que $f:X\rightarrow Y$ sea un morfismo propio plano entre variedades sobre $k$ donde variedad significa separado, tipo finito, integral, y $k$ no necesariamente cerrado algebraicamente. Supongamos que para algún $y \in Y$ que $X_{y} \rightarrow k(y)$ es suave. De acuerdo con la definición de suave dada en esa sección, esto sólo significa que para todo $x$ en $X_{y}$ , $n=dim_{k(x)}(\Omega_{X_{y}/k(y)}\otimes k(x))$ donde $n=dim X - dim Y$ . Demuestre que existe un subconjunto abierto $U$ de $Y$ tal que $f^{-1}U\rightarrow U$ es suave.

Mi idea: Es fácil demostrar que $dim_{k(x)}(\Omega_{X_{y}/k(y)}\otimes k(x)) = dim_{k(x)}(\Omega_{X/Y}\otimes k(x))$ . Esto significa que para cada $x$ en $f^{-1}(y)$ hay un vecindario $U_{x}$ tal que $dim_{k(z)}(\Omega_{X/Y}\otimes k(z))\leq n$ para todos $z\in U_{x}$ . De alguna manera tenemos que encontrar una vecindad (posiblemente más pequeña) para la que se cumpla la desigualdad inversa.

Si $y$ fuera un punto cerrado, de modo que $p:X_{y}\hookrightarrow X$ es una inmersión cerrada, entonces como $X_{y}$ es cuasi-compacto podemos tomar un número finito de $U_{x_{i}}$ para cubrir $p(X_{y})$ . Entonces $U=\cap_{i=1}^{n} f(U_{x_{i}})$ es un subconjunto abierto de $Y$ que contiene $y$ ya que $f$ es plana y, por tanto, abierta. Entonces la afirmación es que este $U$ funciona. No sé el caso en el que $y$ No es un punto cerrado. Además, no veo cómo entra en juego lo apropiado.

A mí me parece que está bien, pero quién sabe. En realidad, si ayuda a mantener la suposición de que $y$ está cerrado, entonces manténgalo ya que este es el único caso que me interesa de todos modos.

Answer 1

Sea X un esquema localmente noetheriano, y F una gavilla coherente sobre X. Entonces el lugar libre de F es un subconjunto abierto de X y la función $x\mapsto \textrm{Rank}F_{x}$ es localmente constante en el lugar libre.

Esto puede demostrarse reduciendo al caso afín X=Spec(A). Si M es un módulo A finamente generado y $\mathfrak{p}\subset A$ un ideal primo, tal que $M_{\mathfrak{p}}$ es libre en $A_{\mathfrak{p}}$ con base $\frac{x_{1}}{1},\ldots,\frac{x_{n}}{1}$ entonces el morfismo $f:A^{n}\to M$ enviando la base estándar a $x_{i}$ es un isomorfismo en $\mathfrak{p}$ . Dado que el núcleo y el cochorno de este morfismo tienen soporte cerrado en Spec(A), f es un isomorfismo en un conjunto abierto que contiene $\mathfrak{p}$ .

Ahora puedes aplicar esto a $\Omega_{X/Y}$ .

Edición: La suavidad es una propiedad abierta en Y: Sea $U\subset X$ sea el lugar liso de f (es un conjunto abierto, como se ha indicado anteriormente). Entonces el lugar singular $Sing(f)=X\backslash U$ está cerrado. Como f es propia es un mapa cerrado. Así que $Y\backslash f(Sing(f))$ está abierto.

Encontrarás teoremas de este tipo en EGA IV.