Máxima abelian subgrupos en un $p$-grupo siempre son normales?

Question

No todos la máxima abelian subgrupos en un determinado $p$-grupo tienen que ser normal? Dudo de la veracidad de esta afirmación, sin embargo no pude encontrar un contraejemplo. ¿Alguien puede darme algún consejo? O ¿podría alguien ser capaz de refutarla?

Answer 1

Tome $p > 3$, dicen, y considerar la semidirect producto $G$ de primaria abelian grupo de orden $p^{3}$, por lo que un espacio vectorial de base $v_{3}, v_{2}, v_{1}$, extendida por el automorphism $a$ orden $p$ que actúa como $v_{i}^{a} = v_{i} v_{i-1}$, donde nos referimos a $v_{1}^{a} = v_{1}$.

A continuación, $\langle a, v_{1} \rangle = C_{G}(a)$ es un abelian subgrupo, que es maximal con respecto a la inclusión (si este es su sentido de la máxima aquí), porque es el centralizador de $a$, pero que no es normal, como $v_{3}$ no normaliza.

Estoy bastante seguro de que un ejemplo similar puede ser construido con un abelian de los subgrupos de máximo orden entre abelian subgrupos.

Answer 2

Considerar el diedro grupo $G = D_{2^n} = \langle x, y: x^2 = y^{2^{n-1}} = 1, x^{-1}yx = y^{-1} \rangle$ donde $n \geq 4$.

Deje $H = \langle x, y^{2^{n-2}} \rangle$. Ahora $H$ no es un subgrupo normal, pero $C_G(H) = C_G(x) = H$, lo $H$ es la máxima abelian subgrupo.

Answer 3

Si te refieres a maximal con respecto a la orden (es decir, $A$ es la máxima abelian subgrupo de un $p$grupo $P$ si es abelian y no hay abelian subgrupo $B$$P$$|B|>|A|$), a continuación, de hecho hay $p$grupos $P$ que contienen la máxima abelian subgrupos no es normal en $P$ (de hecho creo que hay grupos $P$ donde no hay máximo de abelian subgrupo es normal en $P$), aunque me temo que no tengo ejemplos a mano.

Para $p=2,3$ creo que es una conjetura de si, dado cualquier $p$grupo $P$, existe un máximo de abelian subgrupo $A$ que es normal en su posición normal de cierre en $P$ (es decir, $A\unlhd\langle A^P\rangle$). Claramente si $A$ eran necesariamente normal en $P$ esto haría que la conjetura algo trivial.