¿Cómo se calculan los autovalores / vectores de la gran matriz$n\times n$?

Question

El producto de la no-cero autovalores de la matriz es ____. $$\pmatrix{1&0&0&0&1\\0&1&1&1&0\\0&1&1&1&0\\0&1&1&1&0\\1&0&0&0&1}$$ Mi intento :

Bien, la respuesta es $6$. Es una gran matriz (pero no más), por lo que encontrar los autovalores por las características de la ecuación será proceso largo. Estoy intentando por cualquier truco para encontrar los autovalores de un gran $n \times n$ matriz.

Esto se explica "los autovalores por la inspección". No estoy recibiendo correctamente.

Puede usted explicar, autovalores y autovectores por la inspección para esta matriz en los pasos por favor?

Puede usted explicar en pasos.

Answer 1

Por inspección (porque de todos los ceros en la matriz) se puede ver que el lapso $W_2$ de la primera y quinta estándar de la base de vectores es un subespacio invariante, como es el lapso $W_3$ restante de los tres vectores de la base. Por lo tanto, hay una descomposición $\Bbb R^5=W_2\oplus W_3$ una suma directa de dos subespacios invariantes (de dimensión$2$$3$), y usted puede encontrar los valores propios de las restricciones a los subespacios por separado, y luego combinarlas.

Para $W_2$ lineal operador es un rango de $1$ matriz con traza $2$, por lo que obtener los autovalores $0$$2$. Para $W_3$ la acción está dada por la $3\times 3$ sub-matriz en el centro. Es rank $1$ con traza $3$, por lo que los valores propios son $0$ (el doble) y $3$. Por lo que su valor distinto de cero (simple) autovalores son $2,3$$2\times3=6$.

Este utiliza el hecho de que un rango de$~1$ matriz de tamaño $n>1$ tiene un autovalor$~0$ de la multiplicidad, al menos, $n-1$ (la dimensión de su núcleo), y un final autovalor igual a su traza (que es la suma de los autovalores). Y que un valor distinto de cero de la matriz con todas las entradas iguales tiene rango$~1$. Estos hechos son evidentes, donde "por inspección". No tuve la necesidad de los vectores propios de la fila$~1$ matrices de sí mismos, pero es evidente que cualquier (distinto de cero) de la columna de una matriz es un vector propio. En este caso, teniendo en cuenta la inicial de descomposición en subespacios invariantes, esto le da a usted como vectores propios de las dos primeras columnas de la matriz original.

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Desde que se preguntan por el producto de los autovalores distintos de cero y su matriz se diagonalisable (desde simétrica), también interpretar que el número, el determinante de la acción de esta matriz en su imagen de subespacio. Esa imagen (por inspección) las dos primeras columnas de usted matriz como base, y sobre esa base, la acción restringida está dada por la matriz $({2\atop0}~{0\atop3})$ que ha determinante $6$.

Answer 2

Usted puede ver fácilmente que el rango de la matriz es $2$: una reducción de la fila trae en el formulario $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Así, usted sabe que el $0$ autovalor tiene multiplicidad geométrica $5-2=3$. Por otro lado, los vectores $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$ claramente son los vectores propios relativa a $2$ $3$ respectivamente.

Denotar por $m(\lambda)$ $d(\lambda)$ el algebraicas y geométricas de multiplicidades de $\lambda$ como valor propio de la matriz. Entonces usted tiene \begin{gather} d(0)=3\le m(0) \\[6px] m(2)\ge 1,\quad m(3)\ge 1\\[6px] m(2)+m(3)+m(0)\le5 \end{reunir} y, entonces, se puede concluir que $$ m(2)=1,\quad m(3)=1,\quad m(0)=3 $$ y que no hay más valores propios.

Por consiguiente, el producto de los autovalores distintos de cero es $6$.

Answer 3

Puedes hacerlo adivinando y comprobando en este caso, aunque en general, por supuesto, esto no funcionará. El rango es$2$, por lo que solo hay dos valores propios distintos de cero.

Uno ve adivinando que los autovectores son$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ y$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ con valores propios$2$ y$3$. (Cuando adivine y verifique, no es una mala idea comenzar con un vector de todos$1$ s. Si lo hace en este caso, no funcionará, pero verá rápidamente por qué estos dos vectores son la suposición correcta)

Answer 4

Dado que no se nos pide calcular los autovalores pero sólo el producto:

Otro método es utilizar la propiedad $\sum \prod \{\lambda_k\} =\sum |A_k|$ donde $\{\lambda_k\}$ $k-$tamaño de un subconjunto de vectores propios (la suma de la izquierda es más de todos los subconjuntos), y $|A_k|$ $k-$ director de menores de edad. (La más conocida de las propiedades de $\sum \lambda_i=tr(A)$ $\prod \lambda_i=|A|$ son casos particulares de este hecho, relacionado con los coeficientes del polinomio característico - ver por ejemplo)

En nuestro caso (dos dos-cero autovalores) debemos sumar sobre todas las $2-$director de menores de edad, que se puede hacer rápidamente por la inspección.

Empezando por la esquina superior izquierda del elemento, $a_{11}$ da tres $2-$a menores de edad con valor de $1$, (el otro es cero). $a_{22} \cdots a_{44}$ dar un no-cero menor de edad cada uno, también con valor de $1$. La suma, a continuación, se $6$.

Answer 5

Sugerencia el producto de los autovalores es el determinante de la matriz $A$ aquí el determinante de su matriz pueden ser resueltos sólo mediante la creación de una matriz diagonal con elementos sólo $1$ con algunas operaciones en determinante . si desea resolver directamente échale un vistazo aquí. Cómo encontrar el determinante de un 5 por 5 matriz. 1 truco más de la suma de los autovalores es la traza de la matriz. Mediante la observación de Otros podemos ver 3 autovalores son $0$, por lo que la suma de los demás debe ser$5$, por lo que puede ser eithe $1,4$ o $2,3$, por lo que sólo tenemos que comprobar si son los autovalores o no .