Cómo puedo probar que el finito extensión del campo de número real es en sí mismo o en el campo, que es isomorfo a número complejo?

Question

Cómo puedo probar que el finito extensión del campo de número real es en sí mismo o en el campo, que es isomorfo a número complejo ? De hecho, en este ejemplo se incluye en Fraleght . Álgebra abstracta de texto. Me hizo tratar el siguiente: $\mathbb{R}$ es un número real. A continuación, $\mathbb{C}$ es explassd como el más pequeño de extensión de campo, incluyendo $ \mathbb{R} \cup ${$i$}

¿Teniendo en cuenta este conjunto . Deje $\mathbb{H}$ es el más pequeño de campo, incluyendo $\mathbb{R} \cup${$i,j,k$} donde $i, j, k$ son llamados Hamilton número o cuaterniones sus cuadrados son iguales a $-1$. En primer lugar, yo sé que este conjunto es un anillo. Pero puedo comprobar que este conjunto es un campo.

Por supuesto, $\mathbb{H}$ no puede ser un campo. Porque, si esto es cierto, entonces El Fraleght libro de texto está mal. Sin embargo, me gustaría saber las razones específicas y el Ejemplo de la solución . Por favor me ayude a conseguir esto.

Answer 1

Si $K$ es una extensión finita de $\mathbb{R}[x]$, luego $$K \cong \frac{\mathbb{R}[x]}{(f(x))}$$ para algunos polinomio irreducible $f \in \mathbb{R}[x]$. Por lo tanto $f$ tiene un grado en la mayoría de las $2$. Si $f$ tiene el grado $1$,$K \cong \mathbb{R}$. Si $f$ tiene el grado $2$, usted puede usar la fórmula cuadrática para mostrar que $K \cong \mathbb{C}$.

Answer 2

$\mathbb{H}$ , no es un campo, porque no es conmutativa. Fraleigh es correcto que $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ son el único campo finito extensiones de los reales. (Sugerencia: una extraña grado del polinomio sobre $\mathbb{R}$ tiene una raíz real.)

Si usted considera álgebras de división en lugar de campos, sin embargo, no es exactamente una posibilidad más: la que se encuentra, $\mathbb{H}$.

Answer 3

De hecho, hice resolver que simplemente. complejo campo de número es algebraico cierre del número real de campo. Así que Si $M$ es una extensión finita campo de número real de campo, incluyendo número complejo campo. A continuación, $M$ es también un número finito de extensión del campo de número complejo campo. Es una contradicción que el complejo campo de número algebraico clusure(no tiene ninguno de sus algebraicas campo de la extensión) Me gustaría considerar otro punto de vista