Cuando es producto de derecho-invertible la matriz y de izquierda a es invertible la matriz invertible?

Question

Tengo una fuerte sospecha de que este es un libro de texto de álgebra lineal problema, pero me han tenido éxito en la búsqueda de una respuesta.

Deje $A$ $n \times m$ matriz y deje $B$ $m \times n$ matriz de donde $n < m$. Supongamos que $A$ tiene rango $n$ ($A$ tiene derecho inversa) y $B$ también tiene rango $n$ ($B$ ha dejado inversa).

Cuando se $AB$ invertible?

Aquí es lo que tengo hasta ahora. Decir que $AB$ es invertible y a la inversa es $C$. A continuación,

$\left(CA\right) B = I_{n}$

Y,

$A\left(B C\right) = I_{n}$.

O: $BC$ debe ser un derecho-inversa de a $A$ $CA$ debe ser una izquierda-inversa de a $B$.

$CA = B^{-1}_{left} \implies C = B^{-1}_{left} A^{-1}_{right}$

$BC = A^{-1}_{right} \implies C = B^{-1}_{left}A^{-1}_{right}$

Por lo tanto, si $C$ existe, entonces sé lo que es. Si yo sé que hay un $C$ tal que $CA$ es una izquierda-inversa de a $B$ $BC$ es un derecho-inversa de a $A$, entonces el producto es invertible. Lo que estoy buscando son más primitivas que las condiciones en las matrices $A$ $B$ que garantizan una matriz existe.

Answer 1

Si usted ya tiene $A$ $B$ en la mano, basta con comprobar que el $AB$ es invertible. Usted puede hacer esto mediante el cálculo de $\det (AB)$, por supuesto, pero en la práctica es más robusto para realizar una clasificación revelando decompostion (como la descomposición QR) en $AB$.

Es difícil imaginar un enfoque más sencillo, especialmente si $n \ll m$.

Algunos intuición de por qué usted no debe esperar que un "simple" condición: usted está tratando de comprobar la condición de que $\ker A$ $\operatorname{im} B$ son linealmente independientes, por lo que cualquier tipo de cálculo que se comprueba esta condición va a reducirse al cálculo de la dimensión de algunos de espacio lineal. Usted puede construir explícitamente $\ker A$ $\operatorname{im} B$ utilizando, por ejemplo, la descomposición de valor singular de las dos matrices, y comprobar la dependencia lineal de forma explícita, pero esta descomposición se terminan no menos computacionalmente caro que numéricamente calcular el rango de $AB$.