Infinita grupo actúa sobre un conjunto tal que una órbita de cualquier longitud existe.

Question

Dar un ejemplo de una infinita grupo $G$ que actúa sobre un conjunto $S$ tal que para cada una de las $n\in \mathbb{N}$ no es una órbita de esta longitud.

Ha alguien tiene una idea?

He estado tratando de hacer algo rotaciones en $\mathbb{C}$ de potencias de matrices, algo con valores propios, ... No he encontrado ningún ejemplo pero..

Answer 1

Tomar la inconexión de la unión de $\mathbb{Z}/n$ sobre los actos que se $\mathbb{Z}$.

Answer 2

Tomar el subgrupo de permutaciones de $\mathbb Z$ generado por una permutación de que los turnos de cada uno , incluso el número dos a la derecha, y las particiones de los impares números en un ciclo de longitud 1, un ciclo de longitud 2, un ciclo de longitud 3, ...

(Los números le da una órbita de longitud $\infty$, que puede o no puede necesitar proporcionar).

Answer 3

Recordar la clasificación de las acciones del grupo: cada grupo de acción es distinto de la unión de sus órbitas, que son transitivos grupo de acciones. Transitivo acción del grupo es isomorfo a $G/G_x$ donde $G_x$ es el estabilizador de cualquier elemento, y cada subgrupo aparece en esta forma.

Por tanto, la posible tamaños de las órbitas de las acciones de $G$ son precisamente los posibles índices de subgrupos de $G$. Así que tu pregunta se reduce a:

Encontrar un ejemplo de un grupo de $G$ con un subgrupo de todas las posibles finito índice.

La forma más fácil ejemplo de este tipo de grupo es$G = \mathbb{Z}$, pero muchos otros son posibles.

Answer 4

Definitivamente, usted puede hacer esto con la idea de complejo de rotación, como se estaban inclinados. La idea es que se quiere una transformación lineal tal que $e^{2i \pi/n}$ es un valor propio para cada entero positivo $n$, ya que el correspondiente vector propio de época $n$.

Deje $S$ el conjunto de funciones de $f:\mathbb N\rightarrow \mathbb C$ donde $\mathbb N$ es el conjunto de enteros positivos. Deje $\mathbb Z$ actuar en $S$ diciendo que, $n\in\mathbb Z$ es de $f:\mathbb N\rightarrow\mathbb C$ a la función $$n*f(k)=f(k)\cdot e^{2ni\pi/k}.$$ En particular, $1\in\mathbb Z$ que actúa sobre el $k^{th}$ componente de la función de $f$ por la multiplicación por la multiplicación por $e^{2i\pi/k}$. Obviamente, en función de la $f$, lo que es distinto de cero sólo en $k$ periodo $k$ el marco de esta acción.