Que los números enteros son las áreas de los cuadrados con los vértices en 3d entero entramado?

Question

Para que enteros $n$ ¿existe un cuadrado de área $n$ con vértices en 3d entero entramado $\mathbb{Z}^3$?

Una condición suficiente es que $n$ es un cuadrado o de la suma de dos cuadrados, y he comprobado que la condición también es necesario cuando los $n < 10^5$.

Edit: Esta pregunta fue planteada por James Tanton en Twitter. Me pareció muy interesante, así que me tomé la libertad de publicar aquí.

Edit 2: he ampliado la búsqueda a $n < 10^6$ sin encontrar contraejemplos.

Answer 1

Traducir uno de los vértices en el origen, entonces los dos vértices adyacentes de la plaza se $(x,y,z)$ $(u,v,w)$ donde$x^2 + y^2 + z^2 = u^2 + v^2 + w^2 = s$$xu + yv + zw = 0$, y el área del cuadrado es $s$. Ahora considere la posibilidad de $$ \begin{align} (xw-uz)^2 + (yw-vz)^2 &=x^2w^2 - 2xwuz + u^2z^2 + y^2w^2 - 2ywvz + v^2z^2\\ &=(x^2 + y^2)w^2 + (u^2 +v^2)z^2 - 2(xu+yv)wz\\ &=(x^2 + y^2)w^2 + (u^2 +v^2)z^2 + 2(zw)wz\\ &=(x^2 + y^2 + z^2)w^2 + (u^2 +v^2+w^2)z^2\\ &=s(w^2+z^2) \end{align} $$ Puesto que una serie es una suma de dos cuadrados si y sólo si cada factor primo de ese número que es igual a $3\pmod{4}$ se produce incluso con exponente, todos los factores primos de a $(xw-uz)^2 + (yw-vz)^2$ $w^2+z^2$ igual a $3\pmod{4}$ darse incluso exponente, por lo que cada factor primo de $s$ igual a $3\pmod{4}$ también debe producirse incluso con exponente. Por lo tanto, $s$ es una suma de dos cuadrados.

Answer 2

Esto es equivalente a enteros $\{x_i, y_i, z_i\}$ $i = 0, 1, 2, 3$ la satisfacción de:

$(x_i - x_{i+1})^2 + (y_i - y_{i+1})^2 + (z_i - z_{i+1})^2 = A$ (el área)

$(x_i - x_{i+1})(x_{i+1} - x_{i+2}) + (y_i - y_{i+1})(y_{i+1} - y_{i+2}) + (z_i - z_{i+1})(z_{i+1} - z_{i+2}) = 0$

(teniendo en $i+1$ $i+2$ mod 4)

Así que dado un entero no negativo, es la suma de tres cuadrados de números enteros si y sólo si no es de la forma $4^m(8 n + 7)$, una condición necesaria es que el área no es de esa forma. Sus condiciones de satisfacción de este, ya que requieren impares, números primos impares multiplicidad ser $\equiv 1 \bmod 4$, de modo que el área (de acuerdo a sus condiciones) debe ser de la forma $4^m(4 n + 1)$.

Pero las tres plazas condición no en sí misma regla de fuera de los números primos $\equiv 3 \bmod 4$ ocurren a la multiplicidad impar, y si tratamos de valores más grandes tal vez algunos ejemplos de esto.

Edit: acabo de tener otro pensamiento - El área sería de la forma $4^m(8 n + 3)$ si y sólo si todas las diferencias $x_i - x_{i+1}$, $y_i - y_{i+1}$, etc fueron impar. Pero en ese caso, el "ortogonalidad" las condiciones no se cumple, porque la LHS, sería la suma de tres enteros impares y, por tanto, extraño y distinto de cero. Así que en resumen, el área debe ser de la forma $4^m(8 n + 1)$

Sin embargo, que aún queda un resquicio para evadir sus condiciones: Un entero no negativo, es la suma de los cuadrados de dos enteros si y sólo si no contiene prime $\equiv 3 \bmod 4$ a multiplicidad impar. (Por supuesto, un cuadrado es un caso especial de este, con uno de los dos números enteros de cero.) Pero el $8 n + 1$ área de la condición anterior no excluye un número par de números primos $\equiv 3 \bmod 4$ cada ocurra a una multiplicidad impar, lo cual impediría una suma de dos cuadrados de la forma.

Answer 3

Con Qiaochu de observación, uno puede encontrar un general paramétrico solución a este problema, a partir de:

$a^2 + b^2 + c^2 = d^2 + e^2 + F^2$

$a d + b e + c F = 0$

Empezar por olvidar acerca de los números enteros por ahora, y dividiendo ambas ecuaciones por $c^2$, y teniendo en cuenta $a, b, d, e, F$ como racional. En otras palabras, en efecto tome $c = 1$.

Luego de conectar $- F = a d + b e$ en el primer da un resultado equivalente a:

$(a^2 + 1) d^2 + 2 a b d e + (b^2 + 1) e^2 = a^2 + b^2 + 1$

Multiplicando todo por $a^2 + 1$, esto se puede expresar en la forma:

$((a^2 + 1) d + a b e)^2 = (a^2 + 1 - e^2) (a^2 + b^2 + 1)$

Dejar:

$(a^2 + 1) d + a b e = (a^2 + b^2 + 1) f$

esto se convierte en:

$a^2 + 1 - e^2 = (a^2 + b^2 + 1) f^2$

o lo que es equivalente:

$(a^2 + 1) (1 - f^2) = e^2 + (b f)^2$

No es difícil demostrar que esto implica la existencia de rational $g, h$ con:

$1 - f^2 = g^2 + h^2$

de donde por la composición:

$e^2 + (b f)^2 = (a g + h)^2 + (a h - g)^2$

Esto a su vez implica la existencia de rational $u, v$ con:

$u^2 + v^2 = 1$

tal que, de nuevo, por la composición:

$e = u (a g + h) + v (a h - g)$

$b f = v (a g + h) - u (a h - g)$

Ahora $f^2 + g^2 + h^2 = 1$ tiene solución general:

$f = \frac{p^2 + q^2 - 1}{p^2 + q^2 + 1}$

$g = \frac{2 p}{p^2 + q^2 + 1}$

$h = \frac{2 q}{p^2 + q^2 + 1}$

y $u^2 + v^2 = 1$, por supuesto, tiene solución general:

$u = \frac{r^2 - 1}{r^2 + 1}$

$v = \frac{2 r}{r^2 + 1}$

Para conectar estas dos soluciones en las ecuaciones anteriores para $e$ $b f$ manifiesta $b$ $e$ en términos de $a, p, q, r$.

También conectar estas dos soluciones, y $b$ $e$ acaba de obtener, en la ecuación (cerca de el inicio) donde $f$ fue introducido, expresa en $d$ en términos de $a, p, q, r$.

Finalmente, $F$ sigue de $- F = a d + b e$.

Luego, simplemente homogeneizar para obtener las ecuaciones de dar todo entero soluciones.

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Más tarde me di cuenta que el anterior, aunque correcto, es subóptima.

La solución de $a^2 _+ b^2 + 1 = d^2 + e^2 + (a d - b e)^2$, como hicimos nosotros, expresando $b, d, e$ en términos de $a$ y los parámetros deben requerir sólo 2 parámetros en lugar de 3.

Este misterio puede ser resuelto por la observación de que $u^2 + v^2 (= 1)$ puede ser absorbido por la composición en $g^2 + h^2$. Así que con un par de nuevos parámetros de $G, H$, $1 - f^2 = G^2 + H^2$ podemos concluir:

$e = a G + H$

$b f = a H - G$

y $b, d, e, F$ cada uno puede ahora ser expresado en términos de $a, G, H$