Que los anillos de surgir como un anillo de grupo?

Question

Deje $R$ ser arbitraria asociativa anillo con identidad. Cuando no existe un grupo de $G$ y un campo de $F$ tal que $F[G] = R$?

Obtenemos más anillos como $F[G]$ si soltamos la condición de que $F$ ser un campo? Cuando podemos conseguir $G$ a ser un grupo finito?

Parece ser que hay algunos evidentes restricciones: La característica de $F$ es igual a la de $R$, por ejemplo. También, cuando se $F$ $G$ son finitos, entonces también lo es $R$. También, todos los elementos de a $G$, considerado como un subconjunto de a $R$, son las unidades en $R$. Si $R$ es conmutativa, $G$ tiene que ser abelian. Pero no veo mucho más.

Answer 1

El caso más sencillo, que ya es bastante complicado, es si $F$ es algebraicamente cerrado de característica $0$ $G$ es finito, o, equivalentemente, si $R$ es finito dimensionales más de $F$ (tenga en cuenta que $R$ es necesariamente un $F$-álgebra). A continuación, $F[G]$ es semisimple por el teorema de Maschke, y además se divide como un producto finito de la matriz de álgebras de $M_n(F)$, uno para cada irreductible representación de $G$ $F$ de la dimensión de $n$. Así que en este caso especial, la cuestión se reduce a preguntar:

Que las tuplas $(n_1, \dots n_k)$ surgir como las dimensiones de las representaciones irreducibles de un grupo finito $G$$F$?

Creo que no hay ninguna esperanza de una respuesta simple a esta pregunta. Aquí están algunas de las condiciones necesarias. Tenga en cuenta que $|G| = \sum n_i^2$.

1. Al menos uno de los $n_i$ debe ser igual a $1$ (desde el trivial de la representación es siempre irreductible), y de hecho el número de $n_i$ igual a $1$ debe dividir $|G|$ (ya que el orden de la abelianization).
2. Si $|G|$ es primo, a continuación, cada una de las $n_i$ debe ser igual a $1$ (ya que en este caso $G$ es un grupo cíclico de primer orden).
3. Cada una de las $n_i$ debe dividir $|G|$.

Por ejemplo, $F \times M_2(F)$ no es un grupo de álgebra (debido a $1^2 + 2^2 = 5$ y el único grupo de la orden de $5$$C_5$), pero $F \times F \times M_2(F)$ es (es el grupo de álgebra de $S_3 \cong D_3$).

Answer 2

Si su grupo $G$ contiene no trivial de elemento finito de orden, a continuación, su anillo de grupo $R:=SG$ contiene un cero divisor (aquí, $S$ es sólo un anillo, no necesariamente un campo): Si $g^n=1$ $$\begin{align*} &(1-g)(1+g+g^2+\cdots+g^{n-2}+g^{n-1})\\ &=(1+g+g^2+\cdots+g^{n-2}+g^{n-1})-(g+g^2+g^3+\cdots+g^{n-1}+1)\\ &=0.\end{align*}$$

Tenga en cuenta que en su tesis doctoral Higman resultó ser un "opuesto" el resultado localmente procesable grupos (grupos donde todos los no-trivial, finitely subgrupo generado mapas en $\mathbb{Z}$): G. Higman, Las unidades del grupo de los anillos, Proc. Londres Matemáticas. Soc., vol. 46 (1940), pp 231- 248.