Probar si $n^2$ es incluso, a continuación, $n^2$ es divisible por 4

Question

Estoy trabajando en esta pregunta

Probar que para todo entero n si $n^2$ es incluso, a continuación, $n^2$ es divisible por 4.

demostrar por contradicción

Prueba:

Puesto que existe un entero $n$ tal que $n^2$ es aún, y $n^2$ no es divisible por 4,

al $n$ es entero impar, tenemos $n = 2k + 1$ donde $k \in \mathbb{Z}$,

a continuación,$n^2 = 4k^2 + 4k + 1$, debido a $n^2$ es impar, que es una contradicción;

al $n$ es entero par, tenemos $n = 2j$ donde $j \in\mathbb{Z}$,

a continuación,$n^2 = 4j^2 \Rightarrow n^2 | 4$, debido a $n^2$ es divisible por $4$, esto es una contradicción; por lo tanto, para cada entero $n$ si $n^2$ es incluso, a continuación, $n^2$ es divisible por $4$.

Es mi prueba válida o puede alguien darme sugerencia o sugerencia escribir una mejor prueba?

Gracias!

Answer 1

$$n^2\text{ even }\implies \text{n is even, hence:}$$$$n=2m,m\in\Bbb Z, n^2=4m^2\implica 4|n^2$$

Answer 2

Supongamos $n^2$ es incluso y $n^2$ es no divisible por $4$. A continuación, $n^2 = 4k+2$ para algunos entero $k$.

Pero cada cuadrado de un número entero es de la forma $4k$ o $4k+1$. Este es el deseado contradicción.

Answer 3

Una prueba directa es más apropiado aquí. Como $n$ es incluso, podemos escribir $n=2k$ para algunos entero $k$. A continuación, $n^2 = (2k)^2 = 4k^2$, lo cual es claramente divisible por $4$.

Answer 4

Una prueba por contradicción no es necesario, aquí. Sólo sé que si $n^2$ es incluso, $n$ es incluso (fácilmente comprobable), y que un número $n$ sigue la forma $2k$, lo $n^2$ es... que es claramente divisible por...

edit: Sí, la prueba es muy válido.