Se que existe una analítica de la función que cumplen las siguientes condiciones

Question

Vamos, $D=\{z\in \mathbb C:|z|<1\}$. Entonces existe un no-constante de la analítica de la función$f$ $D$ tal que para todos los $n=2,3,4,...$

(a) $f\left(\frac{i}{n}\right)=0$.

(b) $f\left(\frac{1}{n}\right)=0$.

(c) $f\left(1-\frac{1}{n}\right)=0$.

(d) $f\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\right)=0$.

Que es (son) correcta (a/s).

He probado con Identidad teorema, pero tengo un poco de confusión.

A partir de la Identidad teorema, $S=$ conjunto de todos los ceros de $f$ tiene un punto límite en $D$ para las opciones (a) , (b) y (d). Por lo que estas funciones son idénticamente cero. Como la función no es constante por lo que estos NO son posibles. Así que la opción (c) sólo es correcta.

Estoy en lo cierto? O mal?

Answer 1

Aquí está una sugerencia para c. Desea $f$ a no ser analítico en$z=1$, por tanto, puede que desee probar y jugar con $z-1$ en un denominador. Ahora para los puntos de $z=1-\frac{1}{n}$ tenemos $z-1=-\frac{1}{n}$ por lo que el denominador convenientemente desaparece y, por último, desea $f(1-\frac{1}{n})=0$ para todos los enteros así que trate de pensar acerca de las funciones periódicas.