Sabemos que si $0^\#$ existe entonces no está en $L$ . Para un ordinal infinito $\alpha$ , denótese por $I_\alpha$ el segmento inicial de longitud $\alpha$ de Plata indiscernibles.
Pregunta: Para qué $\alpha$ (si lo hay) es $I_\alpha$ en $L$ ?
Respuesta
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Ningún conjunto infinito de indiscernibles de Plata está en $L$ . (Por supuesto, todo conjunto finito de indiscernibles de Plata está en $L$ desde $L$ contiene todos los conjuntos finitos de ordinales).
Para ver esto, suponga $0^\#$ existe en $V$ y supongamos $(\eta_i)_{i<\omega}$ es una secuencia infinita creciente de indiscernibles de Plata. Demostraré que $0^\#$ es definible a partir de $(\eta_i)_{i<\omega}$ utilizando los parámetros de $L$ . Así que si $(\eta_i)_{i<\omega}$ estaban en $L$ entonces $0^\#$ sería en $L$ también. Desde $0^\# \notin L$ se deduce que $(\eta_i)_{i<\omega}$ tampoco está en $L$ .
Elige un incontable $V$ -número cardinal $\kappa$ que es mayor que todos los $\eta_i$ . Entonces $L_\kappa \prec L$ . Así que si $\phi(v_0,\dots,v_{n-1})$ es cualquier fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos, entonces $${}^\ulcorner\phi{}^\urcorner \in 0^\# \Leftrightarrow L \vDash \phi(\eta_0,\dots,\eta_{n-1}) \Leftrightarrow L_\kappa \vDash \phi(\eta_0,\dots,\eta_{n-1}).$$ Desde $\kappa$ , $L_\kappa$ y la relación de satisfacción para $L_\kappa$ están todos en $L$ se deduce que $0^\#$ es definible a partir de $(\eta_i)_{i<\omega}$ utilizando los parámetros de $L$ .
